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如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，對稱軸DP交x軸于Q點，已知P（1，-2），且線段AB=4，tan∠ODP=

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．
（1）求D點的坐標．
（2）求拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的解析式．
（3）在拋物線上是否存在點M（D點除外），使S_△DOP=S_△MOP？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-

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，拋物線與x軸的交點為A，B，與y軸交于點C．拋物線的頂點為M，直線MC的解析式是y=

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x-2．
（1）求頂點M的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）以線段AB為直徑作⊙P，判斷直線MC與⊙P的位置關系，并證明你的結論．

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-2x²+4x+6與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于C點，頂點為D．過點C、D的直線與x軸交于E點，以OE為直徑畫⊙O₁，交直線CD于P、E兩點．
（1）求E點的坐標；
（2）連接PO₁、PA．求證：△BCD∽△PO₁A；
（3）①以點O₂（0，m）為圓心畫⊙O₂，使得⊙O₂與⊙O₁相切，當⊙O₂經過點C時，求實數m的值；
②在①的情形下，試在坐標軸上找一點O₃，以O₃為圓心畫⊙O₃，使得⊙O₃與⊙O₁、⊙O₂同時相切．直接寫出滿足條件的點O₃的坐標（不需寫出計算過程）．

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=

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x2-6與直線y=kx相交于A（-4，-2），B（6，b）兩點．
（1）求k和b的值；
（2）當點C線段AB上運動時，作CD∥y軸交拋物線于點D，
①求CD 最大值；
②如果以CD為直徑的圓與y軸相切，求點C的坐標．

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+（m+1）x+3m與直線y=-x+3交于A、C兩點；點P從原點O點出發，以每秒1個單位長度的速度沿OC向終點C運動，過P作x軸的垂線，交拋物線于D，交AC于E，設點P運動的時間為x（秒），四邊形AOCD的面積為S．
（1）求點A、C的坐標，并求此拋物線的解析式；
（2）求S關于x的函數關系式，并求出S的最大值；
（3）探究：是否存在點P，使直線AC把△PCD分成面積之比為2：1的兩部分？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．