Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=

1

4

x2-6與直線y=kx相交于A（-4，-2），B（6，b）兩點．
（1）求k和b的值；
（2）當點C線段AB上運動時，作CD∥y軸交拋物線于點D，
①求CD 最大值；
②如果以CD為直徑的圓與y軸相切，求點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）將A（-4，-2），代入直線y=kx即可得出k的值，把B（6，b）代入y=

1

2

x，得b=3；
（2）①利用配方法得出二次函數最值求法；
②根據當點C在線段OB上時，-

1

4

x2+

1

2

x+6=2x，求出x的值，以及當點C在線段OA上時，-

1

4

x2+

1

2

x+6=-2x，求出x的值，即可得出C點的坐標．

解答：解：（1）把A（-4，-2）代入y=kx，
得：-2=-4k，
得k=

1

2

，
把B（6，b）代入y=

1

2

x，得b=3；

（2）①設C（x，y）則

CD=yC- y   D = 1 2 x-( 1 4 x2-6)=- 1 4 (x-1)2+ 25 4

，
∴當x=1時，CD的最大值是

25

4

；

②當點C在線段OB上時，-

1

4

x2+

1

2

x+6=2x，
解得x₁=-3+

33

，x₁=-3-

33

（不合題意，舍去），
∴點C的坐標（-3+

33

，

-3+ 33

2

），
當點C在線段OA上時，-

1

4

x2+

1

2

x+6=-2x，
解得x₁=-2，x₂=12（不合題意，舍去），
∴點C的坐標（-2，-1）（12分）
綜上，點C的坐標是（-3+

33

，

-3+ 33

2

）或（-2，-1）．

點評：此題主要考查了一次函數與二次函數的綜合應用，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．