Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-2x²+4x+6與x軸交于A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交于C點，頂點為D．過點C、D的直線與x軸交于E點，以OE為直徑畫⊙O₁，交直線CD于P、E兩點．
（1）求E點的坐標；
（2）連接PO₁、PA．求證：△BCD∽△PO₁A；
（3）①以點O₂（0，m）為圓心畫⊙O₂，使得⊙O₂與⊙O₁相切，當⊙O₂經過點C時，求實數m的值；
②在①的情形下，試在坐標軸上找一點O₃，以O₃為圓心畫⊙O₃，使得⊙O₃與⊙O₁、⊙O₂同時相切．直接寫出滿足條件的點O₃的坐標（不需寫出計算過程）．

Answer 1

分析：（1）運用配方法求出二次函數頂點坐標與圖象與y軸的交點坐標，再求出直線CD的解析式，即可得出E點的坐標；
（2）分別求出△BCD與△PO₁A三邊的比值得出兩三角形相似；
（3）根據當⊙O₂與⊙O₁外切時O₁O₂=r₁+r₂，以及當⊙O₂與⊙O₁內切時O₁O₂=|r₁-r₂|，分別求出符合要求的答案即可．

解答：解：（1）y=-2x²+4x+6=-2（x-1）²+8，
∴C（0，6），D（1，8），
設直線CD：y=kx+b（k≠0）將C、D代入得

b=6 8=k+6

，
解得

k=2 b=6

，
∴CD直線解析式：y=2x+6，當y=0，x=-3，
∴E（-3，0）；

（2）令y=0得-2x²+4x+6=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
又∵O（0，0）、E（-3，0），
∴以OE為直徑的圓心O1(-

3

2

，0)、半徑r1=

3

2

．
設P（t，2t+6），
由PO1=

3

2

得

(t+ 3 2 )2+(2t+6)2

=

3

2

，
解得：t ₁=-

12

5

，t ₂=-3（舍），
∴P(-

12

5

，

6

5

)，
∴PA=

85

5

，AO1=

1

2

，
又DC=

5

，CB=3

5

，DB=2

17

，
∴

DC

AO1

=

CB

PO1

=

DB

PA

=2

5

，
∴△BCD∽△PO₁A；

（3）①O1(-

3

2

，0)，r1=

3

2

，O₂（0，m）
據題意，顯然點O₂在點C下方r₂=O₂C=6-m，
當⊙O₂與⊙O₁外切時O₁O₂=r₁+r₂，
代入得

( 3 2 )2+m2

=

3

2

+(6-m)，
解得：m1=

18

5

，m2=2（舍），
當⊙O₂與⊙O₁內切時O₁O₂=|r₁-r₂|，
代入得

( 3 2 )2+m2

=|

3

2

-(6-m)|，
解得：m1=2，m2=

18

5

（舍），
∴m1=

18

5

，m2=2，

②當⊙O₃與⊙O₂圓心重合時O3(0，

18

5

)，O₃（0，2），
當⊙O₁與⊙O₂外切時，O3(

3

2

，0)，O3(0，

14

15

)，O3(

21

2

，0)，O3(0，-

10

7

)；
當⊙O₁與⊙O₂內切時O3(-

45

14

，0)．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的性質與判定，還用到了分類討論的數學思想，難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．