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在等腰梯形中，，一條直線與下底相交于點，且直線將等腰梯形的周長平分。 

（1）如圖，若直線與腰相交于點，設為，試用含的代數式表示的面積；

（2）是否存在直線將等腰梯形的周長和面積同時平分？若存在，指出符合要求的所有直線的特征；若不存在，請說明理由。

如圖1所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與軸負半軸上.過點B、C作直線．將直線平移，平移后的直線與軸交于點D，與軸交于點E．

（1）將直線向右平移，設平移距離CD為(t0)，直角梯形OABC被直線掃過的面積（圖中陰影部份）為，關于的函數圖象如圖2所示， OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，N點橫坐標為4．

①求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積；

②當時，求S關于的函數解析式；

（2）在第（1）題的條件下，當直線向左或向右平移時（包括與直線BC重合），在直線AB上是否存在點P，使為等腰直角三角形?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由．

已知：以原點O為圓心，5為半徑的半圓與y軸交于A、G兩點，AB與半圓相切于點A，點B的坐標為（3，）。（如圖1）過半圓上的點C作y軸的垂線，垂足為D.Rt△DOC的面積為。
（1）求點C的坐標；
（2）①命題“如圖2，以y軸為對稱軸的等腰梯形MNPQ與M₁N₁P₁Q₁的上底和下底都分別在同一條直線上，NP∥MQ，PQ∥P₁Q₁，且NP＞MQ．設拋物線y=a₀x²+h₀過點P、Q，拋物線y=a₁x²+h₁過點P₁、Q₁，則h₀＞h₁”是真命題．請你以Q（3，5）、P（4，3）和Q₁（p，5）、P₁（p+1，3）為例進行驗證；
②當圖1中的線段BC在第一象限時，作線段BC關于y軸對稱的線段FE，連接BF、CE，點T是線段BF上的動點（如圖3）；設K是過T、B、C三點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點，求K的縱坐標y_K的取值范圍．