Question

如圖1所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與軸負半軸上.過點B、C作直線．將直線平移，平移后的直線與軸交于點D，與軸交于點E．

（1）將直線向右平移，設平移距離CD為(t0)，直角梯形OABC被直線掃過的面積（圖中陰影部份）為，關于的函數圖象如圖2所示， OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，N點橫坐標為4．

①求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積；

②當時，求S關于的函數解析式；

（2）在第（1）題的條件下，當直線向左或向右平移時（包括與直線BC重合），在直線AB上是否存在點P，使為等腰直角三角形?若存在，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標;若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：  

（1）①

，，S_梯形OABC=12

②當時，

直角梯形OABC被直線掃過的面積=直角梯形OABC面積－直角三角開DOE面積

    

（2） 存在

解法二：

①      以點D為直角頂點，作軸

設.（圖示陰影）

，在上面二圖中分別可得到點的生標為P（－12，4）、P（－4，4）

E點在0點與A點之間不可能；

② 以點E為直角頂點

同理在②二圖中分別可得點的生標為P（－，4）、P（8，4）E點在0點下方不可能.

③     以點P為直角頂點

同理在③二圖中分別可得點的生標為P（－4，4）（與①情形二重合舍去）、P（4，4），

E點在A點下方不可能.

綜上可得點的坐標共5個解，分別為P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、

P（8，4）、P（4，4）．

下面提供參考解法三：

以直角進行分類進行討論（分三類）：

第一類如上解法⑴中所示圖

，直線的中垂線方程：，令得．由已知可得即化簡得解得  ；

第二類如上解法②中所示圖，

直線的方程：，令得．

由已知可得即化簡得解之得 ，

第三類如上解法③中所示圖

，直線的方程：，令得．由已知可得即解得

（與重合舍去）．

綜上可得點的坐標共5個解，分別為P（－12，4）、P（－4，4）、P（－，4）、

P（8，4）、P（4，4）．

事實上，我們可以得到更一般的結論：

如果得出設，則P點的情形如下

直角分類情形