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若數列{A_n}滿足，則稱數列{A_n}為“平方遞推數列”．已知數列{a_n}中，a₁=2，點（a_n，a_n+1）在函數f（x）=2x²+2x的圖象上，其中n為正整數．
（Ⅰ）證明數列{2a_n+1}是“平方遞推數列”，且數列{lg（2a_n+1）}為等比數列；
（Ⅱ）設（1）中“平方遞推數列”的前n項之積為T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求數列{a_n}的通項及T_n關于n的表達式；
（Ⅲ）記，求數列{b_n}的前n項和S_n．

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設S_n是數列{a_n}的前n項和，且a_n是S_n和2的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）當1≤i≤j≤n（i，j，n均為正整數）時，求a_i和a_j的所有可能的乘積a_ia_j之和T_n；
（3）設，求證：．

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1. {2，8}           2.         3.          4.    

5.     6. 1            7.20       

8.    9.                 10.2           

11.               12.              13. [2，3]        14.

15.證明：（Ⅰ）在中，

∵，，，∴．

∴．????????????????? 2分

又 ∵平面平面，

平面平面，平面，

∴平面．

又平面，

∴平面平面．………………………………………………………………4分

（Ⅱ）當點位于線段PC靠近C點的三等分點處時，平面．………5分

證明如下：連接AC，交于點N，連接MN．

∵，所以四邊形是梯形．

∵，∴．

又 ∵，

∴，∴MN．…………………………………………………7分

∵平面，∴平面．………………………………………9分

（Ⅲ）過作交于，

∵平面平面，

∴平面．

即為四棱錐的高．……………………………………………………11分

又 ∵是邊長為4的等邊三角形，∴．……………12分

在中，斜邊邊上的高為，此即為梯形的高．

∴梯形的面積．

故．……………………………………………14分

16.設的二次項系數為，其圖象上兩點為（，）、B（，）因為，，所以，由x的任意性得f（x）的圖象關于直線x＝1對稱， ………………………………………………………………(2分)

∵　，，，

，，，………………………………(4分)

∴　當時，∵f（x）在x≥1內是增函數，

，．

　　∵　，　∴　．………………………………………………(8分)

當時，∵f（x）在x≥1內是減函數．

同理可得或，．………………………………………(11分)

　　綜上：的解集是當時，為

當時，為，或．

17.解：（1）若千米/小時，每小時耗油量為升/小時. 共耗油升.

所以，從甲地到乙地要耗油17.5升.

（2）設當汽車以千米/小時的速度勻速行駛時耗油量最少，，耗油量為S升.

則， ，

令，解得，.

列表：

單調減

極小值11.25

單調增

所以，當汽車以80千米/小時的速度勻速行駛時，耗油量最少，為11.25升.

18.解：（Ⅰ）設

對稱軸方程，由題意或或

∴或或∴

（Ⅱ）由已知與（Ⅰ）得：，， ，，．

橢圓的標準方程為．   

設，，聯立

得，

又，

因為橢圓的右頂點為，，即，

，

，．

解得：，，且均滿足，

當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；

當時，的方程為，直線過定點．

所以，直線過定點，定點坐標為．

19. 解: (1) 由題知:  , 解得 , 故.

(2)  , 

,

, 

又滿足上式.   所以.

(3) 若是與的等差中項, 則,

從而,    得. 

因為是的減函數, 所以

當, 即時, 隨的增大而減小, 此時最小值為;

當, 即時, 隨的增大而增大, 此時最小值為. 

又, 所以,

即數列中最小, 且.

20. 解：（1）由題意得  

而，所以、的關系為         

（2）由（1）知，

   令，要使在其定義域內是單調函數，只需在內滿足：恒成立.     

①當時，，因為＞，所以＜0，＜0，

  ∴在內是單調遞減函數，即適合題意；

②當＞0時，，其圖像為開口向上的拋物線，對稱軸為，∴，

只需，即，

∴在內為單調遞增函數，故適合題意.

③當＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故＜0適合題意.                     

綜上所述，的取值范圍為.      

（3）∵在上是減函數，

 ∴時，；時，，即，

①當時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；                                     

②當0＜＜1時，由，

又由（2）知當時，在上是增函數，

 ∴＜，不合題意；                                           

③當時，由（2）知在上是增函數，＜2，又在上是減函數，

故只需＞，   ，而，