Question

在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，前項和滿足。

(1)證明是等差數(shù)列，并求這個數(shù)列的通項公式及前項和的公式；

(2)在平面直角坐標系面上，設(shè)點滿足，且點在直線上，中最高點為，若稱直線與軸、直線所圍成的圖形的面積為直線在區(qū)間上的面積，試求直線在區(qū)間上的面積；

（3）若存在圓心在直線上的圓紙片能覆蓋住點列中任何一個點，求該圓紙片最小面積．

Answer 1

（1）    （2）  （3）

解析:

   （1）由已知得      ①

故     ②

②－①得

結(jié)合，得

是等差數(shù)列            ……（2分）

又時，，解得或

      

又，故                   

         ……（4分）

（2）

即得點

設(shè)，消去n，得

即直線C的方程為             ……（7分）

又是n的減函數(shù)

∴為中的最高點，且

又M₃的坐標為（，）

∴C與x軸、直線圍成的圖形為直角梯形

從而直線C在[，1]上的面積為 ……（9分）

（3）由于直線C：上的點列M_n依次為

M₁（1，1），M₂（，），M₃（，），……，M_n（），

而

因此，點列M_n沿直線C無限接近于極限點M（，）      ……（12分）

又

所以最小圓紙片的面積為……（14分）