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若數列{An}滿足,則稱數列{An}為“平方遞推數列”.已知數列{an}中,a1=2,點(an,an+1)在函數f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數.
(Ⅰ)證明數列{2an+1}是“平方遞推數列”,且數列{lg(2an+1)}為等比數列;
(Ⅱ)設(1)中“平方遞推數列”的前n項之積為Tn,即Tn=(2a1+1)(2a2+1)…(2an+1),求數列{an}的通項及Tn關于n的表達式;
(Ⅲ)記,求數列{bn}的前n項和Sn
【答案】分析:(I)利用點(an,an+1)在函數f(x)=2x2+2x的圖象,結合新定義,可得數列{2an+1}是“平方遞推數列”,兩邊取對數,即可證得數列{lg(2an+1)}為首項是lg5公比為2的等比數列;
(II)由題意,,從而可得數列{an}的通項,進而先求對數的和,即可求得結論;
(III)確定數列{bn}的通項,利用等比數列的求和公式可結論.
解答:(I)證明:因為
所以數列{2an+1}是“平方遞推數列”.--------(2分)
由以上結論
所以數列{lg(2an+1)}為首項是lg5公比為2的等比數列.--------(4分)
(II)解:由題意,
.--------(6分)

.--------(9分)
(III)解:
∴數列{bn}的前n項和.--------(13分)
[注:若有其它解法,請酌情給分]
點評:本題考查新定義,考查數列的通項與求和,解題的關鍵是正確理解新定義,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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若數列{an}滿足a1=1,an+1=2an+n,則通項an=
3×2n-1-n-1
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①若數列{an} 滿足an+3=an,則數列{an} 的遞進上限數列必是常數列;
②等差數列{an} 的遞進上限數列一定仍是等差數列
③等比數列{an} 的遞進上限數列一定仍是等比數列
正確命題的個數是(  )

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(2009•煙臺二模)若數列{an}滿足an+12-
a
2
n
=d
(d為正常數,n∈N+),則稱{an}為“等方差數列”.甲:數列{an}為等方差數列;乙:數列{an}為等差數列,則甲是乙的(  )

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(2009•濰坊二模)已知函數f(x)=ax-
ln(1+x)
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(Ⅱ)若數列{an}滿足a1=1,an+1=f(an),求證:0<an+1<an≤l;
(Ⅲ)在(II)的條件.下,記sn=
a1
1+a1
+
a1a2
(1+a1)(1+a2)
+…+
a1a2an
(1+a1)(1+a2)…(1+an)
,求證:sn<1.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
x
x+1
,若數列{an}滿足:an>0,a1=1,an+1=[f(
an
)]2
(I)求數列{an}的通項公式數列an
(II)若數列{an}的前n項和為Sn,證明:Sn<2.

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