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如圖，四棱柱中，平面，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱．

　（１）求三棱錐的體積；

�。ǎ玻┣笾本�與平面所成角的正弦值；

　（３）若棱上存在一點(diǎn)，使得，當(dāng)二面角的大小為時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．

【解析】（1）在中，

.                 （3’）

（2）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

       （4’）

,設(shè)平面的法向量為，

由得，                                             （5’）

則，

.  （7’）

（3）

設(shè)平面的法向量為，由得，      （10’）

利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法計(jì)算與所圍成的區(qū)域的面積時(shí)，可以先運(yùn)行以下算法步驟：

第一步：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)在區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)；

第二步：對(duì)隨機(jī)數(shù)實(shí)施變換：得到點(diǎn)；

第三步：判斷點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足；

第四步：累計(jì)所產(chǎn)生的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，及滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

第五步：判斷是否小于（一個(gè)設(shè)定的數(shù)）.若是，則回到第一步，否則，輸出并終止算法.

若設(shè)定的，且輸出的，則據(jù)此用隨機(jī)模擬方法可以估計(jì)出區(qū)域的面積為

            （保留小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字）．

利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法計(jì)算與所圍成的區(qū)域的面積時(shí)，可以先運(yùn)行以下算法步驟：
第一步：利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)在區(qū)間內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)；
第二步：對(duì)隨機(jī)數(shù)實(shí)施變換：得到點(diǎn)；
第三步：判斷點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足；
第四步：累計(jì)所產(chǎn)生的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，及滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
第五步：判斷是否小于（一個(gè)設(shè)定的數(shù)）.若是，則回到第一步，否則，輸出并終止算法.
若設(shè)定的，且輸出的，則據(jù)此用隨機(jī)模擬方法可以估計(jì)出區(qū)域的面積為
            （保留小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字）．

如圖，在四棱錐中，⊥底面，底面為正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．

（I）求證：平面；

（II）求證：；

（III）設(shè)PD=AD=a, 求三棱錐B-EFC的體積.

【解析】第一問利用線面平行的判定定理，，得到

第二問中，利用，所以

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012061921145879762728/SYS201206192116075476939219_ST.files/image018.png">，，從而得

第三問中，借助于等體積法來求解三棱錐B-EFC的體積.

（Ⅰ）證明： 分別是的中點(diǎn)，    

，．       …4分

（Ⅱ）證明：四邊形為正方形，．

， ．

， ，

．，．    ………8分

（Ⅲ）解：連接AC,DB相交于O,連接OF, 則OF⊥面ABCD,

∴