題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分16分)
一束光線從點
出發，經過直線
上的一點D反射后，經過點
.
⑴求以A,B為焦點且經過點D的橢圓C的方程；
⑵過點作直線
交橢圓C于P、Q兩點，以AP、AQ為鄰邊作平行四邊形APRQ,求對角線AR長度的取值范圍。
（本小題滿分12分）一束光線從點
出發，經直線l:
上一點
反射后，恰好穿過點
．（1）求點的坐標；（2）求以
、
為焦點且過點的橢圓
的方程； （3）設點
是橢圓上除長軸兩端點外的任意一點，試問在
軸上是否存在兩定點
、
，使得直線
、
的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點、的坐標；若不存在，請說明理由．
（文科做）(本小題滿分16分)
已知橢圓
過點
，離心率為
，圓
的圓心為坐標原點，直徑為橢圓的短軸，圓
的方程為
．過圓上任一點
作圓的切線
，切點為
．
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線
與圓的另一交點為
，當弦
最大時，求直線的直線方程；
(3)求
的最值．
（本小題滿分14分）一束光線從點
出發，經直線
上一點
反射后，恰好穿過點
．
（Ⅰ）求點
關于直線
的對稱點
的坐標；
（Ⅱ）求以、
為焦點且過點的橢圓
的方程；
（Ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交于
、
兩點，點
為線段
上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標．
（本小題滿分14分）一束光線從點
出發，經直線
上一點
反射后，恰好穿過點
．
（Ⅰ）求點
關于直線
的對稱點
的坐標；
（Ⅱ）求以、
為焦點且過點的橢圓
的方程；
（Ⅲ）設直線與橢圓的兩條準線分別交于
、
兩點，點
為線段
上的動點，求點 到的距離與到橢圓右準線的距離之比的最小值，并求取得最小值時點的坐標．
一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）
1．
； 2．
； 3．
； 4．
； 5． 11； 6． 210； 7． 16； 8． 3； 9．
； 10．
； 11． 7； 12．
； 13．
； 14．
（結果為
，不扣分）.
二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）
15．（本小題滿分14分）
解：（1）50；0.04；0.10 ． ………… 6分
（2）如圖． ……………… 10分
（3）在隨機抽取的
名同學中有
名
出線,
．
…………… 13分
答：在參加的
名中大概有63名同學出線．
………………… 14分
16．（本小題滿分14分）
解：
真，則有
，即
．
------------------4分
真，則有
，即
．
----------------9分
若、中有且只有一個為真命題，則、一真一假．
①若真、假，則，且
，即
≤
；
----------------11分
②若假、真，則
，且，即3≤
．
----------------13分
故所求范圍為：≤或3≤．
-----------------14分
17．（本小題滿分15分）
解：（1）設在（1）的條件下方程
有實根為事件
．
數對
共有
對．
------------------2分
若方程有實根，則
≥
，即
． -----------------4分
則使方程有實根的數對有
共
對．
------------------6分
所以方程有實根的概率
．
------------------8分
（2）設在（2）的條件下方程有實根為事件
．
，所以
．
-------------10分
方程有實根對應區域為
，
．
--------------12分
所以方程有實根的概率
．------------------15分
18．（本小題滿分15分）
解：（1）易得
．當
時，在直角
中，
，故
．所以
，
．
------------4分
所以
．
所以異面直線
與
所成角余弦值為
．- -----7分
（2）設直線
與平面
所成的角為
，平面的一個法向量為
.
則由
．得
可取
，-------11分
， 
，------------13分
，
，
． 
，
．
即直線與平面所成角的取值范圍為
．
------------------------15分
19．（本小題滿分16分）
解：（1）設
關于l的對稱點為
，則
且
，
解得
，
，即
，故直線
的方程為
．
由
，解得
．
------------------------5分
（2）因為
，根據橢圓定義，得
，所以
．又
，所以
．所以橢圓
的方程為
．
------------------------10分
（3）假設存在兩定點為
，使得對于橢圓上任意一點
（除長軸兩端點）都有
（
為定值），即
?
，將
代入并整理得
…（＊）．由題意，（＊）式對任意
恒成立，所以
，解之得 
或
．
所以有且只有兩定點
，使得
為定值
． ---------------16分
20．（本小題滿分16分）
解：（1）
．
------------------------2分
因為
，令
得
；令
得
．所以函數的增區間為
，減區間為
．
------------------------5分
（2）因為
，設
，則
．----------6分
設切點為
，則切線的斜率為
，切線方程為
即
，由點
在切線上知
，化簡得
，即
．
所以僅可作一條切線，方程是
．
------------------------9分
（3）
，．
在
上恒成立
在上的最小值
．--------------11分
①當
時，
在
上單調遞減，在
上最小值為
，不符合題意，故舍去；
------------------------12分
②當
時，令
得
．
當
時，即
時，函數在上遞增，的最小值為
；解得
．
------------------------13分
當
時，即
時，函數在上遞減，的最小值為
，無解；
-----------------------14分
當
時，即
時，函數在
上遞減、在
上遞增，所以的最小值為
，無解． ------------------------15分
綜上，所求
的取值范圍為
．
------------------------16分
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