題目列表(包括答案和解析)
（12分）如圖：已知長方體
的底面
是邊長為4的正方形，高
為
的中點
(1)求證：
(2)求二面角
的余弦值
（12分）如圖：已知長方體
的底面
是邊長為4的正方形，高
為
的中點，
交于
（I）求證：
；
（Ⅱ）求證：
；
（Ⅲ）求三棱錐
的體積
如圖：已知長方體
的底面
是邊長為
的正方形，高
，
為
的中點，
與
交于
點．
（1）求證：
平面
；
（2）求證：
∥平面
；
（3）求三棱錐
的體積．
的底面
是邊長為
的正方形，高
，
為
的中點，
與
交于
點． 
平面
；
∥平面
；
的體積．
如圖，已知多面體
的底面
是邊長為
的正方形，
底面，
，且
．
（Ⅰ ）求多面體的體積；
（Ⅱ ）求證：平面EAB⊥平面EBC；
（Ⅲ）記線段CB的中點為K，在平面內過K點作一條直線與平面
平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．
一、選擇題（每小題5分，共50分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
D
B
D
A
B
B
A
二、填空題（每小題4分，共24分）
11．
； 12．
； 13．
； 14．
15．
16．1
三、解答題（本大題共6小題，共76分，以下各題為累計得分，其他解法請相應給分）
17．解（I）由題意得
即
又
（Ⅱ）
于是
又
又
又
18．解：（I）任取3個球的基本情況有（1，2，3），（1，2，3
）,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,3)(1,3,4)
(1,3,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,3),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,4),(2,3,5),(2
,4,5),(3,3,4),(3,3,5),(3,4,5),(3,4,5)共20種，
其中最大編號為4的有（1，2，4），（1，3，4），（1，3，4），（2，3，4），（2，3，4），
（3，3，4）共6種，所以3個球中最大編號為4的概率為
（Ⅱ）3個球中有1個編號為3的有（1，2，3），（1，2，3），（1，3，4），（1，3，5），（1，
3，4），（1，3，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，3，4），（2，3，5），（3，4，5），（3，
4，5）共12種
有2個編號為3的有（1，3，3），（2，3，3），（3，3，4），（3，3，5）共4種
所以3個球中至少有個編號為3的概率是
19．解：（I）
是長方體，
平面
，又
面，
又是正方形。
，又
，
面
（Ⅱ）
（Ⅲ）連結
有
又有上知
，
由題意得
于是可得
上的高為6
20．解：（I）
‘
又
令
，得
①若
，則當
或
時
。當
時，
在
和
內是增函數，在
內是減函數，
②若
則當
或
時，當
時，
在
和
內是增函數，在
內是減函數
（Ⅱ）當時，
在和內是增函數，
故
在
內是增函數。
由題意得
解得
當
時，在和內是增函數，在
內是增函數。
由題意得
解得
綜上知實數
的取值范圍為
（21）解：（1）設
的公比為
，由題意有
解得
或
（舍）
（Ⅱ）
，
是以2為首項，-1為公差的等差數列
（Ⅲ）顯然
又
當
時，
當時，
當
時，
故當
或時
22．解：（I）由題意知
故
又
設橢圓中心
關于直線
的對稱點為
。
于是
方程為
由
得線段的中點為（2，-1），從而的橫坐標為4，
故
橢圓的方程為
（Ⅱ）由題意知直線
存在斜率，設直線的方程為
代入并
整理得
由
得
又
不合題意。
或
設點
則
由①知
直線
方程為
令
得
將
代入
整理得
再將代入計算得
直線與
軸相交于定點（1，0）
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