14、如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁為菱形，∠A₁AB=60°，四邊形BCC₁B₁為矩形，若AB⊥BC，求證：平面A₁CB⊥平面ACB₁．

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如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁為菱形，∠A₁AB=60°，四邊形BCC₁B₁為矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（1）求證：平面A₁CB⊥平面ACB₁；
（2）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

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如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁為菱形，∠A₁AB=60°，四邊形BCC₁B₁為矩形，若AB⊥BC，求證：平面A₁CB⊥平面ACB₁．

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評分說明：

1．本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制訂相應的評分細則．

2．對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數．選擇題不給中間分．

一．選擇題

（1）D   （2）B   （3）B   （4）C   （5）B   （6）C

（7）C   （8）A   （9）B   （10）D （11）A （12）D

二．填空題

（13）300；  （14）480；  （15）①、②③或①、③②；  （16）103．

三．解答題

（17）解：

（Ⅰ）因為點的坐標為，根據三角函數定義可知，，，

所以．     2分

（Ⅱ）∵，，∴． 3分

由余弦定理，得 

．   5分

∵，∴，∴． 7分

∴，∴．     9分

故BC的取值范圍是．（或寫成） 10分

（18）解：

（Ⅰ）記“恰好選到1個曾經參加過社會實踐活動的同學”為事件的，則其概率為

．      4分

（Ⅱ）隨機變量2，3，4，

；     6分

；  8分

．     10分

∴隨機變量的分布列為

2

3

4

P

∴．     12分

（19）證：

（Ⅰ）因為四邊形是矩形∴，

又∵AB⊥BC，∴平面．     2分

∵平面，∴平面CA₁B⊥平面A₁ABB₁．       3分

解：（Ⅱ）過A₁作A₁D⊥B₁B于D，連接，

∵平面，

∴BC⊥A₁D．

∴平面BCC₁B₁，

故∠A₁CD為直線與平面所成的角．

       5分

在矩形中，，

因為四邊形是菱形，∠A₁AB＝60°, CB＝3，AB＝4，

，． 7分

（Ⅲ）∵，∴平面．

∴到平面的距離即為到平面的距離． 9分

連結，與交于點O，

∵四邊形是菱形，∴．

∵平面平面，∴平面．

∴即為到平面的距離． 11分

，∴到平面的距離為．  12分

（20）解：

（Ⅰ）∵，     2分

由，得．

因為，所以，   4分

從而函數的單調遞增區間為． 5分

（Ⅱ）當時，恒有||≤3，即恒有成立．

即當時， 6分

由（Ⅰ）可知，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為．

所以，．        ① 8分

又，，，

所以，．          ②       10分

由①②，解得．

所以，當時，函數在上恒有||≤3成立．    12分

（21）解：

（Ⅰ）由已知，，

由 解得  2分

∵，∴

軸，．  4分

∴，

∴成等比數列．    6分

（Ⅱ）設、，由

消，得  ，

∴   8分

∵

．     10分

∵，∴．∴，或．

∵m>0，∴存在，使得．     12分

（22）解：

（Ⅰ）由題意，，

又∵數列為等差數列，且，∴．   2分

∵，∴．     4分

（Ⅱ）的前幾項依次為

∵＝4，∴是數列中的第11項．       6分

（Ⅲ）數列中，項（含）前的所有項的和是：

，     8分

當時，其和為，

當時，其和為．      10分

又因為2009－1077＝932＝466×2，是2的倍數，

故當時，．    1