Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁為菱形，∠A₁AB=60°，四邊形BCC₁B₁為矩形，若AB⊥BC且AB=4，BC=3
（1）求證：平面A₁CB⊥平面ACB₁；
（2）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

解：（1）證明：∵四邊形BCC₁B₁為矩形，∴B₁B⊥CB，
又AB⊥CB，B₁B∩AB=B
∴CB⊥面A₁ABB₁，AB₁?A₁ABB₁，
∴CB⊥AB₁，
∵四邊形A₁ABB₁為菱形，∴A₁B⊥AB₁，且CB∩A₁B=B，
∴AB₁⊥平面A₁CB，∵AB₁?平面ACB₁，
∴平面A₁CB⊥平面ACB₁；
（2）過點A作BC的平行線，過C作BA的平行線，兩線交于點D，
則四邊形ABCD為平行四邊形．
同樣地作圖得出A₁B₁C₁D₁為平行四邊形．
連接D₁D，即將三棱柱ABC-A₁B₁C₁中補上了同等體積的幾何體A₁C₁D₁-ACD．構成四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD，
由（1）中CB⊥面A₁ABB₁，看作以A₁ABB₁為底面，以BC為高的四棱柱．
∴V_{三棱柱ABC-A1B1C1}=V_{四棱柱A1B1C1D1-ABCD}
=S_菱形A1ABB1×CB
=×4×4sin60°×3
=12．
分析：（1）要證平面A₁CB⊥平面ACB₁；可以通過證出AB₁⊥平面A₁CB而得到．因為四邊形A₁ABB₁為菱形，所以A₁B⊥AB₁．若證出CB⊥AB₁則可，由已知，利用CB⊥面A₁ABB₁，可實現．
（2）可將三棱柱ABC-A₁B₁C₁中補上同等體積的幾何體A₁C₁D₁-ACD．構成四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD，而四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD 視為以菱形A₁ABB₁為底面，CB為高的幾何體，體積易求．
點評：本題考查直線和直線、直線和平面、平面和平面垂直關系的判定與轉化，柱體體積的計算，考查空間想象、轉化、計算、論證能力．