Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形A₁ABB₁為菱形，∠A₁AB=60°，四邊形BCC₁B₁為矩形，若AB⊥BC，求證：平面A₁CB⊥平面ACB₁．

Answer 1

解：∵AB⊥BC，BC⊥B₁B，AB∩B₁B=B
∴BC⊥面AB₁，而AB₁?面AB₁，
∴AB₁⊥CB；
根據四邊形A₁ABB₁為菱形，則AB₁⊥A₁B
∴AB₁⊥平面A₁CB，而AB₁?平面ACB₁，
∴平面A₁CB⊥平面ACB₁．
分析：欲證平面A₁CB⊥平面ACB₁，根據面面垂直的判定定理可知在平面ACB₁內一直線與平面A₁CB垂直，而AB⊥BC，BC⊥B₁B，AB∩B₁B=B，根據線面垂直的判定定理可知BC⊥面AB₁，而AB₁?面AB₁，則AB₁⊥CB，AB₁⊥A₁B，則AB₁⊥平面A₁CB，而AB₁?平面ACB₁，滿足定理所需條件．
點評：本題主要考查了平面與平面垂直的判定，應熟練記憶平面與平面垂直的判定定理，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力．