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在平面直角坐標系中，已知O為坐標原點，點A的坐標為（a，b），點B的坐標為（cosωx，sinωx），其中a²+b²≠0且ω＞0．設f(x)=

OA

•

OB

．
（1）若a=

3

，b=1，ω=2，求方程f（x）=1在區間[0，2π]內的解集；
（2）若點A是過點（-1，1）且法向量為

n

=(-1，1)的直線l上的動點．當x∈R時，設函數f（x）的值域為集合M，不等式x²+mx＜0的解集為集合P．若P⊆M恒成立，求實數m的最大值；
（3）根據本題條件我們可以知道，函數f（x）的性質取決于變量a、b和ω的值．當x∈R時，試寫出一個條件，使得函數f（x）滿足“圖象關于點(

π

3

，0)對稱，且在x=

π

6

處f（x）取得最小值”．

設數列{a_n}的通項是關于x的不等式x²-x＜（2n-1）x（n∈N′）的解集中整數的個數．
（1）求a_n并且證明{a_n}是等差數列；
（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

；
（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．

設數列的通項是關于x的不等式　 的解集中整數的個數.

（1）求并且證明是等差數列；

（2）設m、k、p∈N*，m+p=2k，求證：＋≥；

（3）對于（2）中的命題，對一般的各項均為正數的等差數列還成立嗎？如果成立，

請證明你的結論，如果不成立，請說明理由．