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（2003•北京）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AB=a．
（Ⅰ）求證：直線A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面ACC₁的距離；
（Ⅲ）判斷A₁B與平面ADC₁的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都是2，M是BC的中點(diǎn)，P是側(cè)棱BB₁上一點(diǎn)，且A₁P⊥B₁M．
（1）試求A₁P與平面APC所成角的正弦；
（2）求點(diǎn)A₁到平面APC的距離．

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如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中點(diǎn)．
（1）求證：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求證：AB₁∥平面BEC₁；
（3）若

A1A

AB

=

2

2

，求二面角E-BC₁-C的大小．

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一. 選擇題（本大題共6小題，每小題7分，共42分）

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

答案

C

B

C

C

A

A

二. 填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

7. 0          8. 36           9.    

三．解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟（本大題共3小題，共43分）

10．（本小題滿分14分）

解：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則

                                 …………2分

        解得                                    …………4分

              .                                                             …………5分

                                                    …………7分

   （II）由

                                                                  …………10分

                                                        …………12分

                                                                       …………14分

11．（本小題滿分14分）

解法1：(Ⅰ) 取CD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE、EM、EA.

∵△PCD為正三角形，∴PE⊥CD，PE=PDsin∠PDE=2sin60°=

∵平面PCD⊥平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD           （2分）

∵四邊形ABCD是矩形

∴△ADE、△ECM、△ABM均為直角三角形

由勾股定理可求得：EM=，AM=，AE=3

∴                           （4分）

，又在平面ABCD上射影：

∴∠AME=90°，       ∴AM⊥PM                   （6分）

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知EM⊥AM，PM⊥AM

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角            （8分）

∴tan ∠PME=

∴∠PME=45°

∴二面角P－AM－D為45°；                    （10分）

(Ⅲ)設(shè)D點(diǎn)到平面PAM的距離為，連結(jié)DM，則

 ，    ∴

而                          （12分）

在中，由勾股定理可求得PM=

,所以：∴

即點(diǎn)D到平面PAM的距離為                        （14分）

解法2：(Ⅰ) 以D點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以直線DA、DC為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

依題意，可得

     ……2分

∴

      （4分）

∴

即,∴AM⊥PM              （6分）

 (Ⅱ)設(shè)，且平面PAM，則

   即

∴ ，   

取，得                     （8分）

取，顯然平面ABCD，    ∴

結(jié)合圖形可知，二面角P－AM－D為45°；     （10分）

(Ⅲ) 設(shè)點(diǎn)D到平面PAM的距離為，由(Ⅱ)可知與平面PAM垂直，則

=

即點(diǎn)D到平面PAM的距離為               （14分）

12．（本小題滿分15分）

解：(Ⅰ)∵軸，∴,由橢圓的定義得：    （2分）

∵，∴，                  （4分）

又得    ∴     

∴，                                     （6分）

∴所求橢圓C的方程為．                             （7分）

(Ⅱ)由（Ⅰ）知點(diǎn)A(－2,0)，點(diǎn)B為（0，－1），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

則，,

由－4得－，

∴點(diǎn)P的軌跡方程為.               （9分）

設(shè)點(diǎn)B關(guān)于P的軌跡的對(duì)稱點(diǎn)為，則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：

，解得：，      （12分）

∵點(diǎn)在橢圓上，∴ ，

整理得解得或

∴點(diǎn)P的軌跡方程為或，                   （14分）

經(jīng)檢驗(yàn)和都符合題設(shè)，

∴滿足條件的點(diǎn)P的軌跡方程為或．                 （15分）