Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E是AC中點．
（1）求證：平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁；
（2）求證：AB₁∥平面BEC₁；
（3）若

A1A

AB

=

2

2

，求二面角E-BC₁-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知AA₁⊥平面ABC，BE⊥AA₁．由△ABC是正三角形，E是AC中點，知BE⊥平面ACC₁A₁．由此能夠證明平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）連B₁C，設BC₁∩B₁C=D．由ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，知BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中點．由E是AC的中點，知AB₁∥DE．由此能夠證明AB₁∥平面BEC₁．
（Ⅲ）作CF⊥BC₁于F，FG⊥BC₁于G；連CG．由平面BEC₁⊥平面ACC₁A，知CF⊥平面BEC₁，故FG是CG在平面BEC₁上的射影．根據三垂線定理，知∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角，由此能求出二面角E-BC₁-C的大小．

解答：（Ⅰ）證明：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，
∴BE⊥AA₁．
∵△ABC是正三角形，E是AC中點，
∴BE⊥AC，
∴BE⊥平面ACC₁A₁．
∴BE?平面BEC₁
∴平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁．…（4分）
（Ⅱ）證明：連B₁C，設BC₁∩B₁C=D．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴BCC₁B₁是矩形，D是B₁C的中點．
∵E是AC的中點，
∴AB₁∥DE．
∵DE?平面BEC₁，AB₁?平面BEC₁，
∴AB₁∥平面BEC₁．…（8分）
（Ⅲ）解：作CF⊥BC₁于F，FG⊥BC₁于G；連CG．
∵平面BEC₁⊥平面ACC₁A，
∴CF⊥平面BEC₁…（9分）
∴FG是CG在平面BEC₁上的射影．
根據三垂線定理得，CG⊥BC₁．
∴∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角．…（10分）
設AB=a，∵

A1A

AB

=

2

2

，則A1A=

2

2

a．
在Rt△ECC₁中，CF=

EC•CC1

EC1

=

6

6

a
在Rt△BCC₁中，CG=

BC•CC1

BC1

=

3

3

a．
在Rt△CFG中，∵sin∠CGF=

CF

CG

=

2

2

，
∴∠CGF=45°．
∴二面角E-BC₁-C的大小是45°…（12分）

點評：本題考查證明平面BEC₁⊥平面ACC₁A₁，求證AB₁∥平面BEC₁，求二面角E-BC₁-C的大小．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點，易錯點是∠CGF是二面角E-BC₁-C的平面角的證明．解題時要認真審題，仔細解答．