Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中（注：底面為正三角形且側棱與底面垂直），BC=CC₁=2，P，Q分別為BB₁，CC₁的中點．
（Ⅰ）求多面體ABC-A₁PC₁的體積；
（Ⅱ）求A₁Q與BC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）要求多面體ABC-A₁PC₁的體積為三棱柱的體積減去三棱錐P-A₁B₁C₁的體積，分別求出棱柱與棱錐的體積，求差；
（II）取BC的中點M，連接MQ，可證∠MQA₁為異面直線所成的角，在△MQA₁中，分別求出三邊長，利用余弦定理或勾股定理求角．

解答：解：（I）∵P為BB₁的中點，∴PB₁=1，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
VP-A1B1C1=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

2

×1=

3

3

，
V_三棱柱=

1

2

×2×2×

3

2

×2=2

3

，
∴多面體ABC-A₁PC₁的體積V=2

3

-

3

3

=

5 3

3

．
（II）取BC的中點M，連接MQ，A₁M，AM，
則MQ∥BC₁，
∴∠MQA₁為異面直線A₁Q與BC₁所成的角，
在△MQA₁中，MQ=

1

2

BC₁=

2

；A₁Q=

4+1

=

5

，；AM=

3

，A₁M=

4+3

=

7

，
∴cos∠MQA₁=

2+5-7

2× 2 × 5

=0，
∴∠MQA₁=

π

2

．

點評：本題考查了幾何法求異面直線所成的角，考查了用間接法求幾何體的體積，體現了空間幾何問題轉化為平面幾何問題這一基本解題思路．