Question

（2003•北京）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AB=a．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求點(diǎn)D到平面ACC₁的距離；
（Ⅲ）判斷A₁B與平面ADC₁的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證A₁D⊥B₁C₁，由于BC∥B₁C₁，∴只要證A₁D⊥BC，根據(jù)點(diǎn)D是正△ABC中BC邊的中點(diǎn)，可證AD⊥BC，故問(wèn)題得證；
（Ⅱ）先作出點(diǎn)D到平面ACC₁的 距離．作DE⊥AC于E，由于平面ACC₁⊥平面ABC，所以DE⊥平面ACC₁于E，即DE的長(zhǎng)為點(diǎn)D到平面ACC₁的 距離． 在Rt△ADC中，可求
（Ⅲ）直線(xiàn)A₁B∥平面ADC₁．欲證A₁B∥平面ADC₁．只需證明DF∥A₁B，連接A₁C交AC₁于F，則F為A₁C的中點(diǎn)，因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以DF∥A₁B，利用線(xiàn)面平行的判定定理可證．

解答：解：（Ⅰ）∵點(diǎn)D是正△ABC中BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，∴A₁D⊥BC，∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁．
（Ⅱ）作DE⊥AC于E，∵平面ACC₁⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ACC₁于E，即DE的長(zhǎng)為點(diǎn)D到平面ACC₁的 距離．  
在Rt△ADC中，AC=2CD=a，AD=

3

2

a．
∴所求的距離DE=

CD•AD

AC

=

3

4

a．
（Ⅲ）答：直線(xiàn)A₁B∥平面ADC₁，證明如下：
連接A₁C交AC₁于F，則F為A₁C的中點(diǎn)，∵D是BC的中點(diǎn)，∴DF∥A₁B，
又DF?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是點(diǎn)、線(xiàn)、面間距離的計(jì)算，主要考查點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系，考查點(diǎn)線(xiàn)距離，關(guān)鍵是正確利用線(xiàn)面平行與垂直的判定與性質(zhì)．