Question

（2003•北京）如圖，A₁，A為橢圓的兩個頂點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點．
（Ⅰ）寫出橢圓的方程及準線方程；
（Ⅱ）過線段OA上異于O，A的任一點K作OA的垂線，交橢圓于P，P₁兩點，直線A₁P與AP₁交于點M．求證：點M在雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1上．

Answer 1

分析：（I）根據圖形，確定幾何量，即可寫出橢圓的方程及準線方程；
（Ⅱ）設出直線A₁P，P₁A的方程，求出直線A₁P與AP₁的交點M的坐標，驗證

x2

25

-

y2

9

=1即可．

解答：（Ⅰ）解：由圖可知，a=5，c=4，∴b=

a2-c2

=3．
該橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1，
準線方程為x=±

25

4

．
（Ⅱ）證明：設K點坐標（x₀，0），點P、P₁的坐標分別記為（x₀，y₀），（x₀，-y₀），其中0＜x₀＜5，則

x 2 0

25

+

y 2 0

9

=1，…①
直線A₁P，P₁A的方程分別為：（x₀+5）y=y₀（x+5），…②
（5-x₀）y=y₀（x-5）．…③
②式除以③式得

x0+5

5-x0

=

x+5

x-5

，化簡上式得x=

25

x0

，代入②式得y=

5y0

x0

，
于是，直線A₁P與AP₁的交點M的坐標為(

25

x0

，

5y0

x0

)．
因為

1

25

(

25

x0

)2-

1

9

(

5y0

x0

)2=

25

x 2 0

-

25

x 2 0

(1-

x 2 0

25

)=1．
所以，直線A₁P與AP₁的交點M在雙曲線

x2

25

-

y2

9

=1上．

點評：本小主要考查直線、橢圓和雙曲線等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．