Question

（2003•北京）有三個(gè)新興城鎮(zhèn)分別位于A、B、C三點(diǎn)處，且AB=AC=a，BC=2b，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）．
（Ⅰ）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和最小，則P應(yīng)位于何處？
（Ⅱ）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，則P應(yīng)位于何處？

Answer 1

分析：（I）設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出P至三鎮(zhèn)距離的平方和，利用配方法，可得結(jié)論；
（II）記h=

a2-b2

，表示出P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)條件a＞b＞0，設(shè)P的坐標(biāo)為（0，y），則P至三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y)=2(b2+y2)+(

a2-b2

-y)2=3y2-2

a2-b2

y+a2+b2
所以，當(dāng)y=

a2-b2

3

時(shí)，函數(shù)f（y）取得最小值．
答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，

a2-b2

3

)
（Ⅱ）記h=

a2-b2

P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為g(x)=

b2+y2 ，當(dāng) b2+y2 ≥|h-y| |h-y|，當(dāng) b2+y2 ＜|h-y|.

由

b2+y2

≥|h-y|解得y≥

h2-b2

2h

，記y*=

h2-b2

2h

，
于是g(x)=

b2+y2 ，當(dāng)y≥y* |h-y|，當(dāng)y＜y*.

當(dāng)y*=

h2-b2

2h

≥0，即h≥b時(shí)，
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

b2+y2

在[y^*，+∞）上是增函數(shù)，而|h-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)．
所以y=y^*時(shí)，函數(shù)g（y）取得最小值．點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，

h2-b2

2h

)
當(dāng)y*=

h2-b2

2h

＜0，即h＜b時(shí)，因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

b2+y2

在[y^*，+∞）上當(dāng)y=0函數(shù)g（y）取得最小值b，而|h-y|在（-∞，y^*]上是減函數(shù)，且|h-y|＞b，所以y=0時(shí)，函數(shù)g（y）取得最小值．
答：當(dāng)h≥b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，

h2-b2

2h

)；當(dāng)h＜b時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，0），其中h=

a2-b2

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．