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已知數列{a_n}的首項為1，前n項和為S_n，且滿足a_n+1=3S_n，n∈N^*．數列{b_n}滿足b_n=log₄a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）當n≥2時，試比較b₁+b₂+…+b_n與

1

2

(n-1)2的大小，并說明理由；
（3）試判斷：當n∈N^*時，向量

a

=（a_n，b_n）是否可能恰為直線l：y=

1

2

x+1的方向向量？請說明你的理由．

已知數列{a_n}滿足：a₁=m（m為正整數），a_n+1=

an 2 ，當an為偶數時 3an+1 ，當an為奇數時

若a₆=1，則m所有可能的取值為．

已知數列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+

xn

p+xn

(n∈N*，p是正常數)．
（Ⅰ）當p=2時，用數學歸納法證明xn＜

2

(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整數M，使得對于任意正整數n，都有x_M≥x_n．

已知數列{a_n}的前n項的平均數的倒數為

1

2n+1

，
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設cn=

an

2n+1

，試判斷并說明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符號；
（3）設函數f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的實數λ，當x≤λ時，對于一切自然數n，都有f（x）≤0．

已知數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1-2n+5（n∈N⁺且n≥2），a₁=1．
（1）若b_n=a_n-2n+1，求證：數列{b_n}（n∈N⁺）是常數列，并求{a_n}的通項；
（2）若S_n是數列{a_n}的前n項和，又c_n=（-1）ⁿS_n，且{c_n}的前n項和T_n＞tn²在n∈N⁺時恒成立，求實數t的取值范圍．