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在正三角形△ABC中，E，F(xiàn)，P分別是AB，AC，BC邊上的點，滿足：AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1），將△AEF沿EF折成到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連接A₁B，A₁P（如圖2）
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）求二面角B-A₁P-F的余弦值；
（3）求點F到平面A₁BP的距離．

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1）．將△AEF、△CFP分別沿EF、PF折起到△A₁EF和△C₁FP的位置，使二面角A₁-EF-B和C₁-PF-B均成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P、EC₁（如圖2）
（1）求證：A₁E⊥平面BEP；
（2）設(shè)正△ABC的邊長為3，以

EB

，

EF

，

EA

為正交基底，建立空間直角坐標系．
①求點C₁的坐標；
②直線EC₁與平面C₁PF所成角的大小；
③求二面角B-A₁P-F的余弦值．

如圖，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC且EA=AB=2a，DC=a，F(xiàn)，G，H分別是EB，AB和BC的中點．求證：
（1）FG∥平面AEDC；
（2）平面AEDC∥平面FGH
（3）FD∥平面ABC．

直角三角形ABC的兩條直角邊BC=1，AC=

3

．A，B兩點分別在x軸、y軸的正半軸（含原點）上滑動，P，Q分別為AC，BC的中點．則

OP

•

OQ

的最大值是（　　）