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直角三角形ABC的兩條直角邊BC=1，AC=
3
．A，B兩點分別在x軸、y軸的正半軸（含原點）上滑動，P，Q分別為AC，BC的中點．則
OP
•
OQ
的最大值是（　　）
分析：設AB的中點為E，則由題意可得OE=
1
2
AB=1，
OE
=
1
2
（
OA
+
OB
），利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義化簡
OP
•
OQ
為
OE
•
OC
，故當
OC
=2
OE
時，
OP
•
OQ
最大為 2
OE
2，從而得到結果．
解答：解：設AB的中點為E，則由題意可得OE=
1
2
AB=1，
OE
=
1
2
（
OA
+
OB
），
∵
OP
=
OB
+
BP
=
OB
+
BC
2
，
OQ
=
OA
+
AQ
=
OA
+
AC
2
，
∴
OP
•
OQ
=（
OB
+
BC
2
 ）•（
OA
+
AC
2
）=
OA
•
OB
+
OB
•
AC
2
+
OA
•
BC
2
+
1
4
BC
•
AC
．
由于OA⊥OB，AC⊥BC，∴
OA
•
OB
=0，
1
4
BC
•
AC
=0，
∴
OP
•
OQ
=
OB
•
AC
2
+
OA
•
BC
2
=
1
2
OB
•(
OC
-
OA
)+
1
2
OA
•(
OC
-
OB
)=
1
2
OB
•
OC
-
1
2
OA
•
OB
+
1
2
OA
•
OC
-
1
2
OA
•
OB

=
1
2
OB
•
OC
+
1
2
OA
•
OC
=
1
2
（
OA
+
OB
）•
OC
=
OE
•
OC
，
故當
OE
與
OC
共線時，即
OC
=2
OE
時，
OP
•
OQ
最大為 2
OE
2=2×1=2，
故選B．
點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數量積的運算，屬于中檔題．
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，AC、BC分別是直角三角形ABC的兩條直角邊，且AC=3，BC=4，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于D，則BD=
 
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，AC、BC分別是直角三角形ABC的兩條直角邊，且AC=3，BC=4，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于D，則BD=______．
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科目：高中數學 來源：2012-2013學年浙江省寧波市海曙區效實中學高一（上）期末數學試卷（3-11班）（解析版） 題型：選擇題

直角三角形ABC的兩條直角邊．A，B兩點分別在x軸、y軸的正半軸（含原點）上滑動，P，Q分別為AC，BC的中點．則的最大值是（ ）

A．1
B．2
C．
D．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省清遠市陽山中學高二（下）期末數學試卷（選修1-2、4-1）（文科）（解析版） 題型：填空題

如圖，AC、BC分別是直角三角形ABC的兩條直角邊，且AC=3，BC=4，以AC為直徑作圓與斜邊AB交于D，則BD=    ．

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