Question

如圖，正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于B₁、C₁．將△AB₁C₁沿B₁C₁折起到△A₁B₁C₁的位置，使點A₁在平面BB₁C₁C上的射影恰是線段BC的中點M．求：
（1）二面角A₁-B₁C₁-M的大小；
（2）異面直線A₁B₁與CC₁所成角的大小．（用反三角函數表示）

Answer 1

分析：（1）連接AM、A₁G，根據二面角平面角的定義可知∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角，在Rt△A₁GM中求出此角即可；
（2）B₁作C₁C的平行線交BC于點P，則∠A₁B₁P等于異面直線A₁B₁與CC₁所成的角，在△A₁B₁P中利用余弦定理可求得∠A₁B₁P的大小．

解答：解：（1）連接AM、A₁G．
∵G是正三角形ABC的中心，且M為BC的中點，
∴A、G、M三點共線，AM⊥BC．
∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥AM于點G，
即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁．
∴∠A₁GM是二面角A₁-B₁C₁-M的平面角．
∵點A₁在平面BB₁C₁C上的射影為M，
∴A₁M⊥MG，∠A₁MG=90°．
在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM，得∠A₁GM=60°，
即二面角A₁-B₁C₁-M的大小是60°．
（2）過B₁作C₁C的平行線交BC于點P，
則∠A₁B₁P等于異面直線A₁B₁與CC₁所成的角．
由PB₁C₁C是平行四邊形得B₁P=C₁C=1=BP，
PM=BM-BP=

1

2

，A₁B₁=AB₁=2．
∵A₁M⊥面BB₁C₁C于點M，
∴A₁M⊥BC，∠A₁MP=90°．
在Rt△A₁GM中，A₁M=A₁G•sin60°=

3

•

3

2

=

3

2

．
在Rt△A₁MP中，A₁P²=A₁M²+PM²=（

3

2

）²+（

1

2

）²=

5

2

．
在△A₁B₁P中，由余弦定理得
cos∠A₁B₁P=

A1B12+B1P2-A1P2

2•A1B1•B1P

=

22+12- 5 2

2•2•1

=

5

8

，
∴異面直線A₁B₁與CC₁所成角的大小為arccos

5

8

．

點評：本小題主要考查異面直線所成的角，以及二面角等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力．