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ξ

1

3

P

       ∴ξ的分布列為                                   …………………………5分

       ∴Eξ=1×+3×=.                        ………………………………6分

   （II）當S₈=2時，即前八秒出現“○”5次和“×”3次，又已知

       若第一、三秒出現“○”，則其余六秒可任意出現“○”3次；

       若第一、二秒出現“○”，第三秒出現“×”，則后五秒可任出現“○”3次.

       故此時的概率為…………12分

18.解：（Ⅰ）∵函數是奇函數，則

即   ∴   …………………………2分

由得   解得

∴，．   …………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，     ∴，   ………………6分

當時，  …………………………8分

 ∴，即函數在區間上為減函數．   …………………………9分

（Ⅲ）由＝0，得   …………………………11分

  ∵當，，∴ ， 

 即函數在區間上為增函數   …………………………13分

∴是函數的最小值點，即函數在取得最小值.  ………14分

19.解：（Ⅰ）設正三棱柱―的側棱長為．取中點，連．

是正三角形，．  …………………………2分

又底面側面，且交線為． 側面．

連，則直線與側面所成的角為．   ……………………4分

在中，，解得．

此正三棱柱的側棱長為．  …………………………5分

（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系．

則．  …………………………7分

設為平面的法向量．

由 得．

取                       …………………………9分

又平面的一個法向量

．

結合圖形可知，二面角的大小為  …………………………11分

（Ⅲ）：由（Ⅱ）得  …………………………12分

點到平面的距離＝

                                             …………………………14分

20.解：（Ⅰ）當時，原不等式即，解得，

    ∴ 即------------------------------2分

(Ⅱ)原不等式等價于

……………………………………………..4分

………………………………………………………..6分

∴……8分

（Ⅲ）∵

n=1時，；n=2時，

n=3時，；n=4時，

n=5時，；n=6時，…………………………………………9分

猜想：時 下面用數學歸納法給出證明

①當n=5時，，已證…………………………………………………….10分

②假設時結論成立即

那么n=k+1時，

在范圍內，恒成立,則，即

由①②可得，猜想正確，即時，…………………………………..  13分

綜上所述：當n=2,4時,;當n=3時,;當n=1或時;---14分

21．解：（Ⅰ）由條件得M(0，－)，F(0，).設直線AB的方程為

       y=kx+，A(，)，B(，)

       則，，Q().   …………………………2分

       由得.

       ∴由韋達定理得+=2pk，?=－    …………………………3分

       從而有= +=k(+)+p=2pk÷p.

       ∴?的取值范圍是.      …………………………4分

   （Ⅱ）拋物線方程可化為，求導得.

       ∴       =y     .

       ∴切線NA的方程為：y－即.

       切線NB的方程為：  …………………………6分

       由解得∴N()

       從而可知N點Q點的橫坐標相同但縱坐標不同.

       ∴NQ∥OF.即    …………………………7分

       又由（Ⅰ）知+=2pk，?=－p

       ∴N(pk，－).      …………………………8分

       而M(0，－)  ∴

       又. ∴.       …………………………9分

   （Ⅲ）由.又根據(Ⅰ)知

       ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分

       由于=(－pk，p)，  

       ∴

       從而.         …………………………11分

       又||=，||=

       ∴.

       而的取值范圍是［5，20］.

       ∴5≤5p²≤20，1≤p²≤4.   …………………………13分

       而p>0，∴1≤p≤2.

       又p是不為1的正整數.

       ∴p=2.

       故拋物線的方程：x²=4y.      …………………………14分