題目列表(包括答案和解析)
數列
的前
項和
．
（1）求數列的通項公式;
（2）設
，求數列
的前項和
（12分）數列
的前
項和為
且
．
（1）求數列的通項公式；
的各項均為正數，其前項和為
，
，又
成等比數列，求．數列
的前
項和記作
，滿足
，
．
求出數列的通項公式．
（2）
，且
對正整數恒成立，求
的范圍；
（3）（原創）若中存在一些項成等差數列，則稱有等差子數列，若
證明：
中不可能有等差子數列（已知
。
數列
的前
項和為
，數列
的前項的和為
，為等差數列且各項均為正數，
，
，
（Ⅰ）求證：數列是等比數列；
（Ⅱ）若
，
，
成等比數列，求．
（12分）數列
的前
項和為
，
，
，等差數列
滿足
，（1）分別求數列，的通項公式；
（2）若對任意的
，
恒成立，求實數
的取值范圍．
一．選擇題：ABCDC CAACB
解析：
1： M，P表示元素分別為直線和圓的兩個集合，它們沒有公共元素。故選A。
2：因
，取α=－
代入sinα>tanα>cotα，滿足條件式，則排除A、C、D，故選B。
3：構造特殊函數f(x)=
x，雖然滿足題設條件，并易知f(x)在區間[－7，－3]上是增函數，且最大值為f(-3)=-5，故選C。
4：題中
可寫成
。聯想數學模型：過兩點的直線的斜率公式k=
，可將問題看成圓(x－2)2+y2=3上的點與坐標原點O連線的斜率的最大值，即得D。
5：因緯線弧長＞球面距離＞直線距離，排除A、B、D，故選C。
6：取滿足題意的特殊數列
，則
，故選C。
7：二項式中含有
，似乎增加了計算量和難度，但如果設
，
，則待求式子
。故選A。
8：去掉題中的修飾語，本題的實質就是學生所熟悉的這樣一個題目：三男三女站成一排，男女相間而站，問有多少種站法？因而易得本題答案為
。故選A。
9：考慮特殊位置PQ⊥OP時，
，所以
，故選C。
10：08年農民工次性人均收入為：
又08年農民其它人均收入為1350+160
=2150
故08年農民人均總收入約為2405+2150=4555（元）。故選B。
二．填空題：11.25; 12. 
; 13. 
， 
；14.
； 15、
；
解析：11：
12：
13：
；
14.解：由
，得
15．解：∵PA切
于點A，B為PO中點，∴AB=OB=OA, ∴
,∴
,
在△POD中由余弦定理
，得
=
∴
三．解答題：
16.解：（Ⅰ）∵
∴ 
∴
-----------------2分
若
則
得
----------------------------4分
∵
∴
或
∴
-------------------------------------------------6分
（Ⅱ）∵
＝
----------------------------------9分
∴函數的最小正周期為T=π-----------------------------------------10分
由
得
∴
的單調增區間
.----------------12分
17．（Ⅰ）證法一：在
中，
是等腰直角的中位線，
……………………………1分
在四棱錐
中，
，
，
……………2分
平面
，
……5分
又
平面, 
…………7分
證法二：同證法一
…………2分
……………………4分
平面，
………5分
又平面, ……………………7分
（Ⅱ）在直角梯形
中，
,
……8分
又
垂直平分
，
……10分
三棱錐
的體積為：
………12分
18．解：由題意可知,圖甲圖象經過（1,1）和（6,2）兩點,
從而求得其解析式為y甲=0.2x+0.8-----------------------（2分）
圖乙圖象經過（1,30）和（6,10）兩點,
從而求得其解析式為y乙=-4x+34.------------------------- （4分）
(Ⅰ)當x=2時，y甲=0.2×2+0.8 =1.2,y乙= -4×2+34=26，
y甲?y乙=1.2×26=31.2.
所以第2年魚池有26個,全縣出產的鰻魚總數為31.2萬只.------------ ---（6分）
(Ⅱ)第1年出產魚1×30=30（萬只）, 第6年出產魚2×10=20（萬只）,可見,第6年這個縣的鰻魚養殖業規劃比第1年縮小了----------------------------------（8分）
(Ⅲ)設當第m年時的規模總出產量為n,
那么n=y甲?y乙=（0.2m+0.8） (-4m+34)= -0. 8m2+3.6m+27.2
=-0.8(m2-4.5m-34)=-0.8(m-2.25)2+31.25---------------------------（11分）
因此, .當m=2時,n最大值=31.2.
即當第2年時,鰻魚養殖業的規模最大,最大產量為31.2萬只. --------------（14分）
19．解：(Ⅰ) 由
得: 
,……（2分）
變形得: 
即:
, ………（４分）
數列
是首項為1,公差為
的等差數列. ………（5分）
(Ⅱ) 由(1)得:
, ………（7分）
, 
………（9分）
（Ⅲ）由(1)知: 
………(11分）
………（1４分）
20．解：（Ⅰ）由題意知，動圓圓心Q到點A
和到定直線
的距離相等，
∴動圓圓心Q的軌跡是以點A為焦點，以直線
為準線的拋物線
∴曲線C的方程為
。 -------------------------------------------------4分
（Ⅱ）如圖，設點
，則
的坐標為
，
，∴曲線C在點處的切線方程為：
-----------7分
令y＝0，得此切線與x軸交點的橫坐標
，即
，
， ---------10分
∴
∴數列
是首項
公比為
的等比數列， -----12分
-------------14分
21．解：（Ⅰ）令
得
……………………………………2分
當
時，
故
在
上遞減．
當
故在
上遞增．
所以，當
時，的最小值為
….……………………………………..4分
（Ⅱ）由
，有
即
故 
．………………………………………5分
（Ⅲ）證明:要證： 
只要證：
設
…………………7分
則
令
得
…………………………………………………….8分
當
時，
故
上遞減，類似地可證
遞增
所以
的最小值為
………………10分
而
=
=
=
由定理知: 
故
故
即: .…………………………..14分
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