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如圖所示，有一圓錐形容器，其底面半徑等于圓錐的高，若以9πcm³/s的速度向該容器注水，則水深10cm時水面上升的速度為

9

100

cm/s

9

100

cm/s

．

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如圖所示，有一圓錐形容器，其底面半徑等于圓錐的高，若以的速度向該容器注水，當水深時，求水面上升的速度

 

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如圖所示，有一圓錐形容器，其底面半徑等于圓錐的高，若以的速度向該容器注水，當水深時，求水面上升的速度
 

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一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1．   2．   3．   4．   5．1   6．  7．  8． 9．16   10．8　  11．  12．   13．  14． ①③

二、解答題：本大題共6小題，共90分．

15．(1)設集合中的點為事件，  區域的面積為36，  區域的面積為18

．

（2）設點在集合為事件，  甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點數為36個，其中在集合中的點有21個，故．

16．（1）由4sinB ? sin²+ cos2B = 1 +得：

，          或．

（2）法1：為銳角          

由已知得：， 角為銳角      可得：

由正弦定理得：．

法2：由得：，  由余弦定理知：

即：          ．

17．（1）證明：連接，取中點，連接．

在等腰梯形中，∥，AB=AD，，E是BC的中點

與都是等邊三角形   

平面    平面

平面    ．

（2）證明：連接交于點，連接

∥，且＝    四邊形是平行四邊形   是線段的中點

是線段的中點      ∥

平面   平面．

（3）與平面不垂直．

證明：假設平面，  則

平面  

，平面    平面   

，這與矛盾

與平面不垂直．

18．（1）設橢圓的標準方程為

依題意得：，得   ∴  所以，橢圓的標準方程為．

（2）設過點的直線方程為：，代入橢圓方程得;

  (*)

依題意得：，即 

得：，且方程的根為  

當點位于軸上方時，過點與垂直的直線與軸交于點，

直線的方程是：，  

所求圓即為以線段DE為直徑的圓，故方程為：

同理可得：當點位于軸下方時，圓的方程為：．

（3）設，由=得：，代入

（**）    要證=，即證

由方程組（**）可知方程組（1）成立,(2)顯然成立．∴=

19.．解（1）的解集有且只有一個元素，

當a=4時，函數上遞減

故存在，使得不等式成立

當a=0時，函數上遞增

故不存在，使得不等式成立

綜上，得a=4，…………………………5分

（2）由（1）可知

當n=1時，

當時，

（3），

…

+

               =+>

               >    

20解：（1）由的定義可知，（對所有實數）等價于

（對所有實數）這又等價于，即

對所有實數均成立.        （*）

  由于的最大值為，

  故（*）等價于，即，這就是所求的充分必要條件

（2）分兩種情形討論

     （i）當時，由（1）知（對所有實數）

則由及易知，

再由的單調性可知，

函數在區間上的單調增區間的長度

為（參見示意圖1）

（ii）時，不妨設，則，于是

   當時，有，從而；

當時，有

從而  ；

當時，，及，由方程

      解得圖象交點的橫坐標為

                          ⑴

顯然，

這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區間上，   （參見示意圖2）

故由函數及的單調性可知，在區間上的單調增區間的長度之和為，由于，即，得

          ⑵

故由⑴、⑵得 

綜合（i）（ii）可知，在區間上的單調增區間的長度和為。