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如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別是AC，AB上的中點，
將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，作A₁F⊥CD，垂足為F，如圖2．
（1）求證：DE∥平面A₁CB；
（2）求證：A₁F⊥BE；
（3）若∠A=45°，AC=2，在線段CD上是否存在點F，使得二面角A₁-BE-F為45°．若存在，則指出點F的位置，若不存在，請說明理由．

選修4-1：幾何證明選講．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上一點，以BD為直徑的⊙O與邊AC相切于點E，連接DE并延長，與BC的延長線交于點F．
（1）求證：BD=BF；
（2）若BC=6，AD=4，求⊙O的面積．

（2012•北京）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如圖2．
（1）求證：DE∥平面A₁CB；
（2）求證：A₁F⊥BE；
（3）線段A₁B上是否存在點Q，使A₁C⊥平面DEQ？說明理由．