Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，CB的延長線交過A、B、D三點的圓于點E．
（1）判斷線段AE與CE之間的數量關系，并加以證明；
（2）若過A、B、D三點的圓記為⊙O，過E點作⊙O的切線交AC的延長線于點F，且CD：CF=1：2，求：cosF的值．

Answer 1

分析：（1）連接BD，由于點D是AC的中點，根據直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半知，BD=CD?∠CBD=∠DCB，又根據圓內接四邊形的性質“圓內接四邊形的外角等于它的內對角”知∠CBD=∠CAE，故∠CAE=∠ACE?AE=CE；
（2）由于CD：CF=1：2和CD=

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AC，故有AC=CF，即點C是Rt△AEF的斜邊上的中點，有AC=CE，由1中的AE=CE知，AE=CE=AC，故△ACE是等邊三角形，∠F=30°，即可求得cosF的值．

解答：（1）AE=CE；
證明：接結BD，
∵點D是AC的中點，∠ABC=90°，
∴BD=CD，
∴∠CBD=∠DCB，
又∵四邊形ADBE是圓內接四邊形，
∴∠CBD=∠CAE，
∴∠CAE=∠ACE，
∴AE=CE；

（2）解：∵∠ABE=90°，
∴AE是直徑，
∵EF是過點E的切線，
∴∠AEF=90°；
∵CD：CF=1：2，CD=

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AC，
∴AC=CF，點C是Rt△AEF的斜邊上的中點，
∴AC=CE，
由1中的AE=CE知，AE=CE=AC，
∴△ACE是等邊三角形，∠FAE=60°，
∴∠F=30°，cosF=

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點評：本題利用了直角三角形的性質，圓內接四邊形的性質，等邊對等角，切線的性質，等邊三角形的判定和性質求解．