Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別是AC，AB上的中點，
將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，作A₁F⊥CD，垂足為F，如圖2．
（1）求證：DE∥平面A₁CB；
（2）求證：A₁F⊥BE；
（3）若∠A=45°，AC=2，在線段CD上是否存在點F，使得二面角A₁-BE-F為45°．若存在，則指出點F的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由D，E分別是AC，AB上的中點，結合中位線定理和線面平行的判定定理可得結論；
（2）由已知易得對折后DE⊥平面A₁DC，即DE⊥A₁F，結合A₁F⊥CD可證得A₁F⊥平面BCDE，再由線面垂直的性質可得結論
（3）過F作FG垂直BE交BE于點G，高DF=x，根據A₁F=FG，可構造關于x的方程，解方程求出x值即可確定F的位置．

解答：證明：（1）∵D，E分別是AC，AB上的中點
∴DE∥BC
又∵DE?平面A₁CB，BC?平面A₁CB；
∴DE∥平面A₁CB；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC⊥BC
又由DE∥BC
∴AC⊥DE
即DE⊥A₁D，DE⊥CD
又∵A₁D∩CD=D，A₁D，CD?平面A₁DC
∴DE⊥平面A₁DC
又∵A₁F?平面A₁DC
∴DE⊥A₁F
又∵A₁F⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE?平面BCDE；
∴A₁F⊥平面BCDE
又∵BE?平面BCDE
∴A₁F⊥BE；
（3）過F作FG垂直BE交BE于點G，高DF=x，
∵∠A=45°，AC=2，二面角A₁-BE-F為45°．
則A₁F=

1-x2

，FG=

1+x

2

∵A₁F=FG
∴

1-x2

=

1+x

2

解x=

1

3

∴AC上存在點F，點F在距離C點距離為

2

3

處

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的性質，二面角的平面角及求法，其中熟練掌握空間線面關系的判定及性質，會將空間問題轉化為平面問題是解答本題的關鍵．