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一次數學考試共有10道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個選項是正確的，設計試卷時，安排前n道題使考生都能得出正確答案，安排8-n道題，每題得出正確答案的概率為，安排最后兩道題，每題得出正確答案的概率為，且每題答對與否相互獨立，同時規定：每題選對得5分，不選或選錯得0分。
（1）當n=6時，
①分別求考生10道題全答對的概率和答對8道題的概率；
②問考生答對幾道題的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分數的期望不小于40分，求n的最小值。

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一、選擇題

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

C

A

C

B

D

C

B

A

Ｂ

Ｄ

Ａ

二、填空題

13．  　　　 14. 7500  　　　  15. （-1，1）

16. 　　　　　　１７．45^o  　　　　　　　　１８．

三、解答題

１９解：（Ⅰ）

┅┅┅┅┅┅┅４分

因為，所以，所以，

即的取值范圍為┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）因為，所以┅┅┅┅┅┅┅８分

所以的最小值為，當即為等邊三角形時取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分

２０（Ⅰ）證明（方法一）取中點，連接，因為分別為中點，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分

所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分

（方法二）取中點，連接，

因為分別為中點，所以

又因為分別為中點，所以┅┅┅┅┅┅┅３分

且，

所以面面，

又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分

（方法三）取中點，連接，

由題可得，又因為面面，

所以面，又因為菱形中，所以.

可以建立如圖所示的空間直角坐標系

┅┅┅┅┅┅┅7分

不妨設，

可得，

，，，，所以

所以，┅┅┅┅┅┅┅9分

設面的一個法向量為，則，不妨取，則，所以，又因為面，所以面.

┅┅┅┅┅┅┅12分

（Ⅱ）（方法一）

過點作的垂線交于，連接.

因為，

所以，所以面，

所以為二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分

因為面面，所以點在面上的射影落在上，所以，

所以，不妨設，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分

所以，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅12分

（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，設面的一個法向量為，則，不妨取，則.

┅┅┅┅┅┅┅８分

又，設面的一個法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分

所以，因為二面角為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分

２１解：

（Ⅰ）從盒中一次性取出三個球，取到白球個數的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分

所以期望為，所以，即盒中有 3個紅球，2 個白球．┅┅┅┅┅┅┅３分

（Ⅱ）由題可得的取值為0，1，2，3.

,=,,

所以的分布列為

0

1

2

3

P

                                                          ┅┅┅┅┅┅┅１１分

E =                                

答：紅球的個數為2，的數學期望為2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分

２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分

即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分

又，所以，

所以是等差數列，首項為，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分

令  ①

則  ②┅┅┅┅┅┅９分

①-②可得

所以，所以┅┅１2分

２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點為頂點的三角形，

∵，∴為直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分

∴外接圓C以原點O為圓心，線段A₁A₂為直徑，故其方程為．

∵2b=4，∴b=2．又，可得．

∴所求橢圓C₁的方程是．           ┅┅┅┅┅┅┅4分

（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡為：，    

同理PB的方程為                ┅┅┅┅┅┅┅6分

又PA、PB同時過P點，則x₁x₀+y₁y₀=4，x₂x₀+y₂y₀=4，

∴AB的直線方程為：x₀x+y₀y=4               ┅┅┅┅┅┅┅8分

（或者求出以OP為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）

      從而得到、

所以      ┅┅┅┅┅┅┅8分

當且僅當.           ┅┅┅┅┅┅┅12分

（或者利用橢圓的參數方程、函數求最值等方法求的最大值）

２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分

①當，即，在上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分

②當，即，當時，在上有，所以在單調遞增；當時，在上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分

③當，即

當時，函數對稱軸在y軸左側，且，所以在上有，所以在單調遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分

當時，函數對稱軸在右側，且，

兩個根分別為，所以在上有，即在單調遞增；在上有，即在單調遞減.

綜上：時，在單調遞增；時，在單調遞增，在單調遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當時，有極大值，極小值，所以

，又因為，

┅┅┅１2分

所以

=