Question

一次數學考試共有10道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個選項是正確的．設計試卷時，安排前n道題使考生都能得出正確答案，安排8-n道題，每題得出正確答案的概率為

1

2

，安排最后兩道題，每題得出正確答案的概率為

1

4

，且每題答對與否相互獨立，同時規定：每題選對得5分，不選或選錯得0分．
（1）當n=6時，
①分別求考生10道題全答對的概率和答對8道題的概率；
②問：考生答對幾道題的概率最大，并求出最大值；
（2）要使考生所得分數的期望不小于40分，求n的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意當n=6時，①分別求考生10道題全答對，即后四道題全答對的相互獨立事件同時發生，利用獨立事件同時發生的概率公式即可求解．同理可求得答對8道題的概率，對于②答對題的個數X的可能值為6，7，8，9，10，利用隨機變量的定義即可求出每一個值下對應的概率，
（2）當n=6時，求出其分布列，并利用其分布列求出期望，并求出該考生所得分數的期望不小于40分的值并比較即可．

解答：解：（1）①當n=6時，10道題全答對，即后四道題全答對的相互獨立事件同時發生，
10道題題全答對的概率為

1

2

×

1

2

×

1

4

×

1

4

=

1

64

，
答對8道題的概率為

1

2

•

1

2

•

3

4

•

3

4

+

1

2

•

1

2

•

1

4

•

1

4

+4•

1

2

•

1

2

•

1

4

•

3

4

=

22

64

=

11

32

，
②答對題的個數X的可能值為6，7，8，9，10，其概率分別為：
P（X=6）=

1

2

•

1

2

•

3

4

•

3

4

=

9

64

；P（X=7）=2•

1

2

•

1

2

•

3

4

•

3

4

+2•

1

2

•

1

2

•

1

4

•

3

4

=

24

64

=

3

8

；
P（X=8）=

22

64

=

11

32

；又P（X=9）=1-

9

64

-

24

64

-

22

64

-

1

64

=

1

8

；
所以：答對7道題的概率最大為

3

8

，
（2）當n=6時，分布列為：

分值x	30	35	40	45	50
P	9 64	24 64	22 64	8 64	1 64

得Ex=30×

9

64

+35×

24

64

+40×

22

64

+45×

8

64

+50×

1

64

=

2400

64

=37.5，
同理可算得，當n=7時，Ex=40．所以n的最小值為7．

點評：此題考查了學生準確理解題意及嚴謹的邏輯思維能力，主要考查了相互獨立事件同時發生的概率及離散型隨機變量的分布列及期望．