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31．已知ABCD是正方形.PD⊥平面ABCD.PD=AD=2. (Ⅰ)求PC與平面PBD所成的角, (Ⅱ)求點D到平面PAC的距離, (Ⅲ)在線段PB上是否存在一點E.使PC⊥平面ADE? 若存在.確定E點的位置.若不存在.說明理由. 解: (Ⅰ)設AC與BD相交于點O.連接PO. ∵ABCD是正方形.∴AC⊥BD. 又∵PD⊥平面ABCD.∴PD⊥AC. ∵BD∩PD=D. ∴AC⊥平面PBD. ∴∠CPO為PC與平面PBD所成的角. ∵PD=AD=2.則OC=.PC=2. 在Rt△POC中.∠POC=90°. ∴ ∴PC與平面PBD所成的角為30° (Ⅱ)過D做DF⊥PO于F.∵AC⊥平面PBD. DF平面PBD. ∴AC⊥DF. 又∵PO∩AC=O. ∴DF⊥平面PAC. 在Rt△PDO中.∠PDO=90°. ∴PO·DF=PD·DO. ∴ (Ⅲ)假設存在E點.使PC⊥平面ADE. 過E在平面PBC內做EM∥PC交BC于點M. 連接AE.AM. 由AD⊥平面PDC可得AD⊥PC. ∵PC∥EM.∴AD⊥EM. 要使PC⊥平面ADE.即使EM⊥平面ADE. 即使EM⊥AE. 設BM=.則EM=.EB=. 在△AEB中由余弦定理得AE2=4+3-4 在Rt△ABM中.∠ABM=90°. ∴AM2=4+. ∵EM⊥AE.∴4+=4+3-4+2. ∴-=0. ∵.∴=1. ∴E為PB的中點.即E為PB的中點時.PC⊥平面ADE. 【查看更多】

如圖，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD.