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建造一個容積為8m.深為2m的長方體無蓋水池.如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元.則水池的最低造價為 . [簡解]1小題:圖像法解方程.也可代入各區間的一個數.選C, 2小題:函數f(x)的對稱軸為2.結合其單調性.選A, 3小題:從反面考慮.注意應用特例.選B, 4小題:設tg＝x .則+＝.解出x＝2.再用萬能公式.選A, 5小題:利用是關于n的一次函數.設S＝S＝m.＝x.則(,p).(,q).在同一直線上.由兩點斜率相等解得x＝0.則答案:0, 6小題:設cosx＝t.t∈[-1,1].則a＝t-t-1∈[-,1].所以答案:[-,1], 7小題:設高h.由體積解出h＝2.答案:24, 8小題:設長x.則寬.造價y＝4×120+4x×80+×80≥1760.答案:1760. Ⅱ.示范性題組: 例1. 設a>0.a≠1.試求方程log＝log(x-a)有實數解的k的范圍. [分析]由換底公式進行換底后出現同底.再進行等價轉化為方程組.分離參數后分析式子特點.從而選用三角換元法.用三角函數的值域求解. [解] 將原方程化為:log＝log. 等價于 ∴ k＝- ( ||>1 ), 設＝cscθ. θ∈(-,0)∪(0, ).則 k＝f(θ)＝cscθ-|ctgθ| 當θ∈(-,0)時.f(θ)＝cscθ+ctgθ＝ctg<-1.故k<-1, 當θ∈(0, )時.f(θ)＝cscθ-ctgθ＝tg∈(0,1).故0<k<1, 綜上所述.k的取值范圍是:k<-1或0<k<1. y C C -ak -a a x [注] 求參數的范圍.分離參數后變成函數值域的問題.觀察所求函數式.引入新的變量.轉化為三角函數的值域問題.在進行三角換元時.要注意新的變量的范圍.一般地.此種思路可以解決有關不等式.方程.最大值和最小值.參數范圍之類的問題.本題還用到了分離參數法.三角換元法.等價轉化思想等數學思想方法. 另一種解題思路是采取“數形結合法 : 將原方程化為:log＝log.等價于x-ak＝ .設曲線C:y＝x-ak.曲線C:y＝ .如圖所示. 由圖可知.當-ak>a或-a<-ak<0時曲線C與C有交點.即方程有實解.所以k的取值范圍是:k<-1或0<k<1. 還有一種思路是直接解出方程的根.然后對方程的根進行討論.具體過程是:原方程等價變形為后.解得:.所以>ak.即-k>0.通分得<0.解得k<-1或0<k<1.所以k的取值范圍是:k<-1或0<k<1. 例2. 設不等式2x-1>m(x-1)對滿足|m|≤2的一切實數m的取值都成立.求x的取值范圍. [分析] 此問題由于常見的思維定勢.易把它看成關于x的不等式討論.然而.若變換一個角度以m為變量.即關于m的一次不等式(x-1)m-<0在[-2,2]上恒成立的問題.對此的研究.設f(m)＝(x-1)m-.則問題轉化為求一次函數的值在[-2,2]內恒為負值時參數x應該滿足的條件. [解]問題可變成關于m的一次不等式:(x-1)m-<0在[-2,2] 恒成立.設f(m)＝(x-1)m-, 則解得x∈(,) [注] 本題的關鍵是變換角度.以參數m作為自變量而構造函數式.不等式問題變成函數在閉區間上的值域問題.本題有別于關于x的不等式2x-1>m(x-1)的解集是[-2,2]時求m的值.關于x的不等式2x-1>m(x-1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍. 一般地.在一個含有多個變量的數學問題中.確定合適的變量和參數.從而揭示函數關系.使問題更明朗化.或者含有參數的函數中.將函數自變量作為參數.而參數作為函數.更具有靈活性.從而巧妙地解決有關問題. 例3. 設等差數列{a}的前n項的和為S.已知a＝12.S>0.S<0 . ①.求公差d的取值范圍, ②.指出S.S.-.S中哪一個值最大.并說明理由. [分析] ①問利用公式a與S建立不等式.容易求解d的范圍,②問利用S是n的二次函數.將S中哪一個值最大.變成求二次函數中n為何值時S取最大值的函數最值問題. [解]① 由a＝a+2d＝12,得到a＝12-2d.所以 S＝12a+66d＝12+66d＝144+42d>0. S＝13a+78d＝13+78d＝156+52d<0. 解得:-<d<-3. ② S＝na+n+n(n-1)d ＝[n-(5-)]-[(5-)] 因為d<0.故[n-(5-)]最小時.S最大.由-<d<-3得6<(5-)<6.5.故正整數n＝6時[n-(5-)]最小.所以S最大. [注] 數列的通項公式及前n項和公式實質上是定義在自然數集上的函數.因此可利用函數思想來分析或用函數方法來解決數列問題.也可以利用方程的思想.設出未知的量.建立等式關系即方程.將問題進行算式化.從而簡潔明快.由次可見.利用函數與方程的思想來解決問題.要求靈活地運用.巧妙的結合.發展了學生思維品質的深刻性.獨創性. 本題的另一種思路是尋求a>0.a<0 .即:由d<0知道a>a>->a.由S＝13a<0得a<0.由S＝6(a+a)>0得a>0.所以.在S.S.-.S中.S的值最大. 例4. 如圖.AB是圓O的直徑.PA垂直于圓O所在平面.C是圓周上任一點.設∠BAC＝θ.PA＝AB=2r.求異面直線PB和AC的距離. [分析] 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值.從而設定變量.建立目標函數而求函數最小值. P M A H B D C [解] 在PB上任取一點M.作MD⊥AC于D.MH⊥AB于H. 設MH＝x.則MH⊥平面ABC.AC⊥HD . ∴MD＝x+[sinθ]＝(sin+1)x-4rsinθx+4rsinθ ＝(sinθ+1)[x-]+ 即當x＝時.MD取最小值為兩異面直線的距離. [注] 本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值 .并設立合適的變量將問題變成代數中的“函數問題 .一般地.對于求最大值.最小值的實際問題.先將文字說明轉化成數學語言后.再建立數學模型和函數關系式.然后利用函數性質.重要不等式和有關知識進行解答.比如再現性題組第8題就是典型的例子. 例5. 已知△ABC三內角A.B.C的大小成等差數列.且tgA·tgC＝2+.又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a.b.c及三內角. [分析]已知了一個積式.考慮能否由其它已知得到一個和式.再用方程思想求解. [解] 由A.B.C成等差數列.可得B＝60°, 由△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC.得 tgA+tgC＝tgB＝ (1+) 設tgA.tgC是方程x-(+3)x+2+＝0的兩根.解得x＝1.x＝2+ 設A<C.則tgA＝1.tgC＝2+. ∴A＝.C＝由此容易得到a＝8.b＝4.c＝4+4. [注]本題的解答關鍵是利用“△ABC中tgA+tgB+tgC＝tgA·tgB·tgC 這一條性質得到tgA+tgC.從而設立方程求出tgA和tgC的值.使問題得到解決. 例6. 若(z-x) -4＝0,求證:x.y.z成等差數列. [分析] 觀察題設.發現正好是判別式b-4ac＝0的形式.因此聯想到構造一個一元二次方程進行求解. [證明] 當x＝y時.可得x＝z. ∴x.y.z成等差數列, 當x≠y時.設方程(x-y)t-＝0.由△＝0得t＝t.并易知t＝1是方程的根. ∴t·t＝＝1 . 即2y＝x+z . ∴x.y.z成等差數列 [注]一般地.題設條件中如果已經具備或經過變形整理后具備了“x+x＝a.x·x＝b 的形式.則可以利用根與系數的關系構造方程,如果具備b-4ac≥0或b-4ac≤0的形式.可以利用根的判別式構造一元二次方程.這種方法使得非方程問題用方程思想來解決.體現了一定的技巧性.也是解題基本方法中的一種“構造法 . 例7. △ABC中.求證:cosA·cosB·cosC≤ . [分析]考慮首先使用三角公式進行變形.結合三角形中有關的性質和定理.主要是運用“三角形的內角和為180° .變形后再通過觀察式子的特點而選擇和發現最合適的方法解決. [證明] 設k＝cosA·cosB·cosC＝[cos]·cosC＝[-cosC+cos(A-B)]cosC 整理得:cosC-cos(A-B)·cosC+2k＝0.即看作關于cosC的一元二次方程. ∴ △＝cos(A-B)-8k≥0 即 8k≤cos(A-B)≤1 ∴ k≤即cosA·cosB·cosC≤ [注]本題原本是三角問題.引入參數后.通過三角變形.發現了其等式具有“二次特點.于是聯想了一元二次方程.將問題變成代數中的方程有實解的問題.這既是“方程思想 .也體現了“判別式法 .“參數法 . 此題的另外一種思路是使用“放縮法 ,在放縮過程中也體現了“配方法 .具體解答過程是:cosA·cosB·cosC＝[cos]·cosC ＝-cosC+cos(A-B)·cosC＝- [cosC-]+cos(A-B)≤cos(A-B) ≤. 例8. 設f(x)＝lg.如果當x∈有意義.求實數a的取值范圍. [分析]當x∈＝lg有意義的函數問題.轉化為1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式問題. [解] 由題設可知.不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立. 即:()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立. 設t＝(), 則t≥. 又設g(t)＝t+t+a.其對稱軸為t＝- ∴ t+t+a＝0在[,+∞)上無實根. 即 g()＝()++a>0.得a>- 所以a的取值范圍是a>-. [注]對于不等式恒成立.引入新的參數化簡了不等式后.構造二次函數利用函數的圖像和單調性進行解決問題.其中也聯系到了方程無解.體現了方程思想和函數思想.一般地.我們在解題中要抓住二次函數及圖像.二次不等式.二次方程三者之間的緊密聯系.將問題進行相互轉化. 在解決不等式()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的問題時.也可使用“分離參數法 : 設t＝(), t≥.則有a＝-t-t∈(-∞,-].所以a的取值范圍是a>-.其中最后得到a的范圍.是利用了二次函數在某區間上值域的研究.也可屬應用“函數思想 . Ⅲ.鞏固性題組: 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

建造一個容積為18m³，深為2m的長方形無蓋水池，如果池底和池壁每m²的造價分別為200元和150元，那么水池的最低造價為

5400

元．

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水是生命之源、生產之要、生態之基.2010年春季，西南5省面臨世紀大旱，5000多萬同胞受災．這場少見的世紀大旱使農作物受災面積近500萬公頃，其中40萬公頃良田顆粒無收，2000萬同胞面臨無水可飲的絕境．某鄉鎮對此次旱災進行了認真的分析、總結，決定建造一個容積為4800m³，深為3m的長方體形無蓋貯水池，以解決當地居民飲水、灌溉問題．已知貯水池池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元．設池底一邊長為xm，總造價為y（單位：元）．
（1）試寫出以x為自變量的函數y的解析式；
（2）求函數y的最小值，及相應x的值，并指出其實際意義．

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要建造一個容積為2000m³，深為5m的長方體無蓋蓄水池，池壁的造價為95元/m²，池底的造價為135元/m²，若水池底的一邊長為xm，水池的總造價為y元．
（1）把水池總造價y表示為x的函數y=f（x），并寫出函數的定義域．
（2）試證明：函數y=f（x）當x∈（0，20]時是減函數，當x∈[20，+∞）時是增函數
（3）當水池底的一邊長x為多少時，水池的總造價最低，最低造價是多少．

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建造一個容積為8m³深為2m的長方體形無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為120元/m²和80元/m²
（1）求總造價關于一邊長的函數解析式，并指出該函數的定義域；
（2）判斷（1）中函數在（0，2]和[2，+∞）上的單調性并用定義法加以證明；
（3）如何設計水池尺寸，才能使總造價最低．

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建造一個容積為8m³，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底的造價為每平方米120元，池壁的造價為每平方米80元，
（1）設池底的長為x m，試把水池的總造價S表示成關于x的函數；
（2）如何設計池底的長和寬，才能使總造價S最低，求出該最低造價．

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