Question

建造一個容積為8m³深為2m的長方體形無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為120元/m²和80元/m²
（1）求總造價關于一邊長的函數解析式，并指出該函數的定義域；
（2）判斷（1）中函數在（0，2]和[2，+∞）上的單調性并用定義法加以證明；
（3）如何設計水池尺寸，才能使總造價最低．

Answer 1

分析：（1）設總造價為y元，一邊長為xm，則函數y=底面積×池底造價+側面積×池壁造價，代入數據計算即可，定義域是底邊長的取值，為（0，+∞）；
（2）由（1）知函數y=(

4

x

+x)×320+480，用定義證明其單調性如下：【步驟一：取值】即任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂【步驟二：作差，整理】即y₁-y₂=(

4

x1

+x1)×320+480-(

4

x2

+x2)×320-480=320

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，【步驟三：比較，得結論】①當0＜x₁＜x₂≤2時，y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂（函數單調遞減）；②當2≤x₁＜x₂時，y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂（函數單調遞增）；
（3）由（2）知，x=2時，函數有最小值，計算f（2）即可．

解答：解：（1）設總造價為y元，一邊長為xm，則y=4×120+2(

4

x

×2+x×2)×80，
即：y=(

4

x

+x)×320+480定義域為（0，+∞）；
（2）函數y=(

4

x

+x)×320+480在（0，2]上為減函數，在[2，+∞）上為增函數；
用定義證明如下：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
則y₁-y₂=(

4

x1

+x1)×320+480-(

4

x2

+x2)×320-480
=320(

4

x1

-

4

x2

+x1-x2)
=320

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

，
①當0＜x₁＜x₂≤2時，x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，即x₁x₂-4＜0；
∴y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂；
∴該函數在（0，2]上單調遞減；
②當2≤x₁＜x₂時，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即x₁x₂-4＞0；
∴y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂，
∴該函數在[2，+∞）上單調遞增；
（3）由（2）知當x=2時，函數有最小值y_min=f（2）=1760（元）
即：當水池的長與寬都為2m時，總造價最低，為1760元．

點評：本題考查了用定義證明函數單調性以及利用單調性判定函數的最值問題，用定義證明函數的單調性時，要嚴格按照步驟解答，以免出錯．