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如圖，拋物線y＝x²與直線相交于O，A兩點(diǎn)，點(diǎn)P沿著拋物線從點(diǎn)A出發(fā)，按橫坐標(biāo)大于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)方向運(yùn)動(dòng)，PS∥x軸，交直線OA于點(diǎn)S，PQ⊥x軸，SR⊥x軸，垂足為Q，R．

(1)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2時(shí)，回答下面問(wèn)題：

①求S點(diǎn)的坐標(biāo)．②求通過(guò)原點(diǎn)，且平分矩形PQRS面積的直線解析式．

(2)當(dāng)矩形PQRS為正方形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

我們知道，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線的解析式可以是y＝ax²＋bx(a≠0)

(1)對(duì)于這樣的拋物線：當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)時(shí)，a＝________；當(dāng)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m)，m≠0時(shí)，a與m之間的關(guān)系式是________．

(2)繼續(xù)探究，如果b≠0，且過(guò)原點(diǎn)的拋物線頂點(diǎn)在直線y＝kx(k≠0)上，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示b；

(3)現(xiàn)有一組過(guò)原點(diǎn)的拋物線，頂點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n在直線y＝x上，橫坐標(biāo)依次為1，2，…，n(為正整數(shù)，且n≤12)，分別過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經(jīng)過(guò)D_n，求所有滿(mǎn)足條件的正方形邊長(zhǎng)．

在解題目：“當(dāng)x＝1949時(shí)，求代數(shù)式的值”時(shí)，聰聰認(rèn)為x只要任取一個(gè)使原式有意義的值代入都有相同結(jié)果．你認(rèn)為他說(shuō)的有理嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知，如圖，菱形ABCD，對(duì)角線AC＝6 cm，BD＝8 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)A、D重合)，速度為1cm/秒；同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為cm/秒，過(guò)點(diǎn)E作EF∥CD交BD于點(diǎn)F．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)了x秒．

(1)用含x的代數(shù)式填空：PD＝________cm，AE＝________cm．

(2)當(dāng)x為何值時(shí)△AEP和△OEF相似．

(3)當(dāng)2.5＜x＜5時(shí)，設(shè)S_△AEP＋S_△PEF＝y(tǒng)cm²，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

(4)以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，是否存在拋物線同時(shí)過(guò)點(diǎn)A、E、F、P，若存在，直接寫(xiě)出x的值，若不存在，說(shuō)明理由．