已知定義在R上的函數f（x）和數列{a_n}滿足下列條件：a₁=a，a₂≠a₁，當n∈N^*且n≥2時，a_n=f（a_n-1）且f（a_n）-f（a_n-1）=k（a_n-a_n-1）．
其中a、k均為非零常數．
（1）若數列{a_n}是等差數列，求k的值；
（2）令b_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），若b₁=1，求數列{b_n}的通項公式；
（3）試研究數列{a_n}為等比數列的條件，并證明你的結論．