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若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線存在自公切線的序號為
 
（填上所有正確的序號），①y=x2-|x|；②y=|x2-x|；③y=3sinx+4cosx；④x2-y2 ；⑤|x|+1=
4-y2
．
分析：通過畫出函數圖象，觀察其圖象是否滿足在其上兩個不同點處的切線重合，從而確定是否存在自公切線．
解答：解：函數 y=x2-|x|的圖象如下左圖顯然滿足要求；
函數 y=|x2-x|不存在自公切線；
函數y=3sinx+4cosx的一條自公切線為y=5；
x2-y2 =1為等軸雙曲線，不存在自公切線．  
而對于方程|x|+1=
4-y2
，其表示的圖形為圖中實線部分，不滿足要求；
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故答案為：①③
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及新定義自公切線，題目比較新穎，解題的關鍵是理解新的定義，同時考查了數形結合的思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線存在自公切線的序號為
 
（填上所有正確的序號）①y=x2-|x|；②|x|+1=
4-y2
③y=3sinx+4cosx；④x2-y2=1⑤y=xcosx．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•黃岡模擬）若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個不同的點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，則下列方程的曲線存在自公切線的有
③④
③④
（填上所有正確的序號）
①|x|+1=
4-y2
  ②y2-x2 ③y=2sinx-3cosx   ④y=xcosx．

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年湖北省荊州、黃岡、宜昌、襄陽、孝感、十堰、恩施高三（下）4月聯考數學試卷B（理科）（解析版） 題型：解答題

若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個不同的點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，則下列方程的曲線存在自公切線的有    （填上所有正確的序號）
①  ②y2-x2 ③y=2sinx-3cosx   ④y=xcosx．

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科目：高中數學 來源：2011年安徽省合肥市高考數學一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

若曲線f（x，y）=0（或y=f（x））在其上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0（或y=f（x））的自公切線，下列方程的曲線存在自公切線的序號為    （填上所有正確的序號），①y=x2-|x|；②y=|x2-x|；③y=3sinx+4cosx；④x2-y2 ；⑤．

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