[例1]如圖.設三棱錐S-ABC的三個側棱與底面ABC所成的角都是60°.又∠BAC=60°.且SA⊥BC. (1)求證:S-ABC為正三棱錐, (2)已知SA=a.求S-ABC的全面積. 證明(1):正棱錐的定義中.底面是正多邊形,頂點在底面上的射影是底面的中心.兩個條件缺一不可.作三棱錐S-ABC的高SO.O為垂足.連結AO并延長交BC于D. 因為SA⊥BC.所以AD⊥BC.又側棱與底面所成的角都相等.從而O為△ABC的外心.OD為BC的垂直平分線.所以AB=AC.又∠BAC=60°.故△ABC為正三角形.且O為其中心.所以S-ABC為正三棱錐. 解(2):在Rt△SAO中.由于SA=a.∠SAO=600. 所以SO=a.AO=a.因O為重心. 所以AD=AO=a.BC=2BD=2ADcot600=a. OD=AD=a. 在Rt△SOD中.SD2=SO2+OD2=(a)2+(a)2=.則SD=a.于是.(SS-ABC)全=·(a)2sin60°+3··a·a=a2. ◆思悟探討 (1)求正棱錐的側面積或全面積還可以利用公式 S正棱錐底=cosα·S正棱錐側(α為側面與底面所成的二面角). (2)注意到高SO=a.底面邊長BC=a是相等的.因此這類正三棱錐還有高與底面邊長相等的性質.反之亦真. (3)正三棱錐中.若側棱與底面邊長相等.則可稱為正四面體.因此正四面體是特殊的正三棱錐.但正三棱錐不一定是正四面體. [例2] 三棱錐A-BCD的兩條棱AB=CD=6.其余各棱長均為5.求三棱錐的內切球半徑. 解法一:易知內切球球心O到各面的距離相等. 設E.F為CD.AB的中點.則O在EF上且O為EF的中點. 在△ABE中.AB=6.AE=BE=4.OH=. 解法二:設球心O到各面的距離為R. 則4×S×R=VA-BCD. ∵S=×6×4=12.VA-BCD=2VC-ABE=6. ∴4××12R=6.∴R=. 評述:正多面體與球的切接問題常借助體積求解. [例3]．已知.三棱柱ABC-A1B1C1中.側棱與底面成600的角.AB⊥AC.BC1⊥A1C1.AB=4.AC=3. (1).求證:截面ABC1⊥底面ABC, (2).求三棱柱ABC-A1B1C1的體積的最小值, (3).求三棱柱ABC-A1B1C1體積最小時.截面A1BC1與底面ABC所成二面角的大小. 證(1):在三棱柱ABC-A1B1C1 中, AC ∥A1C1, ∵BC1⊥A1C1, ∴BC1⊥AC,又 AB⊥AC, ∴AC⊥面ABC1, ∴面ABC1⊥面ABC. 解(2):作C1H⊥面ABC于H, 則H在AB上.連CH.則∠HCC1=600 當H與A重合時CH最短.棱柱的高C1H=CHtan600=CH最短三棱柱ABC-A1B1C1 的體積V最小.此時. ∠ACC1=600, C1H=AC1=3 V= 解(3)設面ABC交面A1BC1于直線 m,則 m為二面角的棱. ∵AC∥A1C1 , ∴AC∥面A1BC1, AC∥m , ∴ AB⊥m, 又AC1⊥面ABC, 由三垂線定理知C1B⊥m, ∴∠ABC1為所求二面角的平面角.在RtΔABC1中. tan∠ABC1= [例4]如圖.三個12×12 cm的正方形.都被連結相鄰兩邊中點的直線分成A.B兩片.把6片粘在一個正六邊形的外面.然后折成多面體.求此多面體的體積. 解法一: 補成一個正方體.如圖甲. V=V正方體=×123=864 cm3. 甲乙解法二:補成一個三棱錐.如圖乙. V=V大三棱錐-3V小三棱錐=864 cm3. 解法三:如圖(3)7設C是所在棱的中點.截面CDE把幾何體截成兩部分.沿DE把上部分翻轉過來可拼成正方體的下一半. ◆思考討論補形的方法可將不規則的幾何體轉化成規則的幾何體.這是求多面體體積的常用方法. 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

如圖，設三棱錐S-ABC的三個側棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求證：S-ABC為正三棱錐；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．

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如圖，設三棱錐S-ABC的三個側棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求證：S-ABC為正三棱錐；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．

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如圖，設三棱錐O-ABC的三條側棱OA，OB，OC兩兩垂直，三個側面與底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分別等于α₁，α₂，α₃．記△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面積分別為S₁，S₂，S₃，S，則下列四個命題：（1）S_i=Scosα_i（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，則∠BAC=60°（3）S²=S₁²+S₂²+S₃²．（4）α₁，α₂，α₃的取值可以分別是30°，45°，60°．
其中正確命題的序號是（填上所有正確命題的序號）

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（2010•上饒二模）如圖，設三棱錐O-ABC的三條側棱OA，OB，OC兩兩垂直，三個側面與底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分別等于α₁，α₂，α₃．記△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面積分別為S₁，S₂，S₃，S，則下列四個命題：（1）S_i=Scosα_i（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，則∠BAC=60°（3）S²=S₁²+S₂²+S₃²．（4）α₁，α₂，α₃的取值可以分別是30°，45°，60°．
其中正確命題的序號是

（1）（2）（3）

（填上所有正確命題的序號）

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如圖，設三棱錐S-ABC的三個側棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求證：S-ABC為正三棱錐；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．

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如圖，設三棱錐S-ABC的三個側棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．（1）求證：S-ABC為正三棱錐；（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．

如圖，設三棱錐S-ABC的三個側棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求證：S-ABC為正三棱錐；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．