Question

如圖，設三棱錐S-ABC的三個側棱與底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
（1）求證：S-ABC為正三棱錐；
（2）已知SA=a，求S-ABC的全面積．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，證明底面三角形是正三角形，證明頂點S在底面的射影是底面的中心，就證明S-ABC為正三棱錐；
（2）SA=a，只要求出正三棱錐S-ABC的側高SD與底面邊長，即可求S-ABC的全面積．

解答：（1）證明：正棱錐的定義中，底面是正多邊形；
頂點在底面上的射影是底面的中心，兩個條件缺一不可．
作三棱錐S-ABC的高SO，O為垂足，連接AO并延長交BC于D．
因為SA⊥BC，所以AD⊥BC．又側棱與底面所成的角都相等，
從而O為△ABC的外心，OD為BC的垂直平分線，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
故△ABC為正三角形，且O為其中心．所以S-ABC為正三棱錐．

（2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
所以SO=

3

2

a，AO=

1

2

a．因O為重心，所以AD=

3

2

AO=

3

4

a，
BC=2BD=2ADcot60°=

3

2

a，OD=

1

3

AD=

1

4

a．
在Rt△SOD中，SD²=SO²+OD²=（

3

2

a）²+（

1

4

a）²=

13

16

，則SD=

13

14

a．
于是，（S_S-ABC）_全=

1

2

•（

3

2

a）²sin60°+3•

1

2

•

13

4

a•

3

2

a=

3( 3 + 39 )

16

a²．

點評：本題考查棱錐的結構特征，棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積，考查計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．