Question

如圖，設三棱錐O-ABC的三條側棱OA，OB，OC兩兩垂直，三個側面與底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分別等于α₁，α₂，α₃．記△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面積分別為S₁，S₂，S₃，S，則下列四個命題：（1）S_i=Scosα_i（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，則∠BAC=60°（3）S²=S₁²+S₂²+S₃²．（4）α₁，α₂，α₃的取值可以分別是30°，45°，60°．
其中正確命題的序號是    （填上所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：由題設知，（i=1，2，3），所以S_i=Scosα_i（i=1，2，3）；由∠BAO=∠CAO=45°，知cos∠BAC=cos45°•cos45°=，所以∠BAC=60°；設OA=a，OB=b，OC=c，H為垂心，故AD⊥BC，由OA、OB、OC兩兩垂直，知S₁²+S₂²+S₃²=（ a² b²+b² c²+a² c²）= a²（b²+c²）+ b² c²，由此能導出S₁²+S₂²+S₃²=（b²+c²）•AD²=BC²•AD²=S²；α₁，α₂，α₃的取值不可以分別是30°，45°，60°．
解答：解：由題設知，（i=1，2，3），
∴S_i=Scosα_i（i=1，2，3），
故（1）成立；
∵∠BAO=∠CAO=45°，∴cos∠BAC=cos45°•cos45°=，
∴∠BAC=60°，
故（2）成立；
如圖
設OA=a，OB=b，OC=c，
∵H為垂心∴AD⊥BC，
又∵OA、OB、OC兩兩垂直，
∴S₁=，S₂= bc，S₃=ac  S=BC•AD，
∴S₁²+S₂²+S₃²=（ a² b²+b² c²+a² c²）= a²（b²+c²）+ b² c²…①
又∵在Rt△BOC中，OD⊥BC，
∴OB²•OC²=b² c²=OD²•BC²=OD²•（b²+c²）…②
∴②代入①得：S₁²+S₂²+S₃²=（b²+c²）•AD²=BC²•AD²=S²．
故（3）成立．
α₁，α₂，α₃的取值不可以分別是30°，45°，60°．
故（4）不成立．
故答案為：（1）（2）（3）．
點評：本題考查棱錐的結構特征，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．