例1．如圖.在四邊形ABCD中.已知AB∥CD.直線AB.BC.AD.DC分別與平面α相交于點E.G.H.F．求證:E.F.G.H四點必定共線．解:∵AB∥CD. ∴AB.CD確定一個平面β．又∵ABα＝E.ABβ.∴E∈α.E∈β. 即E為平面α與β的一個公共點．同理可證F.G.H均為平面α與β的公共點． ∵兩個平面有公共點.它們有且只有一條通過公共點的公共直線. ∴E.F.G.H四點必定共線．說明:在立體幾何的問題中.證明若干點共線時.常運用公理2.即先證明這些點都是某二平面的公共點.而后得出這些點都在二平面的交線上的結論．例2．已知:a.b.c.d是不共點且兩兩相交的四條直線.求證:a.b.c.d共面．證明 1o若當四條直線中有三條相交于一點.不妨設a.b.c相交于一點A. 但AÏd.如圖1． ∴直線d和A確定一個平面α．又設直線d與a.b.c分別相交于E.F.G. 則A.E.F.G∈α． ∵A.E∈α.A.E∈a.∴aα．同理可證bα.cα． ∴a.b.c.d在同一平面α內． 2o當四條直線中任何三條都不共點時.如圖2． ∵這四條直線兩兩相交.則設相交直線a.b確定一個平面α．設直線c與a.b分別交于點H.K.則H.K∈α．又 H.K∈c.∴c,則cα．同理可證dα． ∴a.b.c.d四條直線在同一平面α內．說明:證明若干條線共面的一般步驟是:首先根據公理3或推論.由題給條件中的部分線確定一個平面.然后再根據公理1證明其余的線均在這個平面內．本題最容易忽視“三線共點這一種情況．因此.在分析題意時.應仔細推敲問題中每一句話的含義．例3．已知不共面的三條直線..相交于點.....求證:與是異面直線．證一:假設AD和BC共面.所確定的平面為α. 那么點P.A.B.C.D都在平面α內.∴直線a.b.c都在平面α內.與已知條件a.b.c不共面矛盾.假設不成立. ∴AD和BC是異面直線. 證二:∵a∩c=P.∴它們確定一個平面.設為α.由已知C平面α.B∈平面α.AD平面α.BAD.∴AD和BC是異面直線. 【查看更多】

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9、如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F．求證：E，F，G，H四點必定共線．