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已知，函數

（1）當時，求函數在點(1，)的切線方程；

(2)求函數在[－1，1]的極值；

(3)若在上至少存在一個實數x₀，使>g(x_o)成立，求正實數的取值范圍。

【解析】本試題中導數在研究函數中的運用。（1）中，那么當時，  又    所以函數在點(1，)的切線方程為；（2）中令   有 

對a分類討論，和得到極值。（3）中，設，，依題意，只需那么可以解得。

解：（Ⅰ）∵  ∴

∴  當時，  又    

∴  函數在點(1，)的切線方程為 --------4分

（Ⅱ）令   有 

①         當即時

	（－1，0）	0	（0，）		（，1）
	+	0	－	0	+
		極大值		極小值

故的極大值是，極小值是

②         當即時，在（－1,0）上遞增，在（0,1）上遞減，則的極大值為，無極小值。 

綜上所述   時，極大值為，無極小值

時  極大值是，極小值是        ----------8分

（Ⅲ）設，

對求導，得

∵，    

∴ 在區間上為增函數，則

依題意，只需，即 

解得  或（舍去）

則正實數的取值范圍是（，）

 

已知函數f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時，f（x）=log₂x
（1）求當x＜0時，求函數f（x）的表達式
（2）若g（x）=2^x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或

2

2

≤g(x)≤1}，試判斷集合A和B的關系．

已知函數f(x)=log

1

3

x，
（1）當x∈[

1

3

，3]時，求f（x）的反函數g（x）；
（2）求關于x的函數y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3）當x∈[-1.1]時的最小值h（a）；
（3）我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：
①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在函數的定義域內存在區間[p，q]（p＜q）使得函數在區間[p，q]上的值域為[p²，q²]．
（Ⅰ）判斷（2）中h（x）是否為“和諧函數”？若是，求出p，q的值或關系式；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）若關于x的函數y=

x2-1

+t（x≥1）是“和諧函數”，求實數t的取值范圍．