Question

已知函數f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，當x＞0時，f（x）=log₂x
（1）求當x＜0時，求函數f（x）的表達式
（2）若g（x）=2^x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或

2

2

≤g(x)≤1}，試判斷集合A和B的關系．

Answer 1

分析：（1）根據函數為奇函數可推斷出f（-x）=-f（x）進而根據x＞0時函數的解析式，求得x＜0時，函數的解析式．
（2）根據f（x）和g（x）的解析式，根據對數函數和指數函數的單調性，利用集合的條件分別求得集合A和集合B，進而可判斷出二者的關系．

解答：解：（1）∵函數f（x）為奇函數
∴f（-x）=-f（x）
∵當x＞0時，f（x）=log₂x
∴當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-log₂（-x）
（2）f（x）≥2，
當x＞0時，f（x）=log₂x≥2，解得x≥4
當x＜0時，f（x）=-log₂（-x）≥2，解得-

1

4

≤x＜0，
∴集合A={x|-

1

4

≤x＜0或x≥4}，
依題意2^x≥16，解得x≥4，

2

2

≤2^x≤1解得-

1

2

≤x≤0
∴集合B={x|x≥4或-

1

2

≤x≤0}，
∴A是B的真子集；

點評：本題主要考查了對數函數和指數函數的性質．考查了學生對對數函數綜合性的把握和理解．