Question

已知函數(shù)f（x）=log₂

x+1

x-1

（x＞1或x＜-1），
（1）證明f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[3，5]時，求f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）利用函數(shù)f（x）在x∈[3，5]上的單調(diào)性，求f（x）的最小值和最大值．

解答：解：（1）f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
證明：設(shè)1＜x₁＜x₂，設(shè)g（x）=

x+1

x-1

，
則g(x1)-g(x2)=

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴g（x）=

x+1

x-1

在（1，+∞）上是減函數(shù)，
又∵y=log₂x在定義域上單調(diào)遞增，
∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）由（1）知f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）在x∈[3，5]上的單調(diào)遞減，
∴f（x）的最小值為f（5）=log2

3

2

，最大值為f（3）=1．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性是求函數(shù)的最值的基本方法．