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點P到x軸的距離比它到點（0，1）的距離小1，稱點P的軌跡為曲線C，點M為直線l：y=-m （m＞0）上任意一點，過點M作曲線C的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）當M的坐標為（0，-l）時，求過M，A，B三點的圓的標準方程，并判斷直線l與此圓的位置關系；
（3）當m變化時，試探究直線l上是否存在點M，使MA⊥MB？若存在，有幾個這樣的點，若不存在，請說明理由．

對于三次函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設f'（x）是函數y=f（x）的導數，f''是f'（x）的導數，若方程f''（x）=0有實數解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

，請你根據這一發現，求：
（1）函數f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+3x-

5

12

對稱中心為；
（2）計算f(

1

2011

)+f(

2

2011

)+f(

3

2011

)+f(

4

2011

)+…+f(

2010

2011

)=．

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分別在線段B₁C₁和AC上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4
（1）求證：BC⊥AC₁；
（2）試探究滿足EF∥平面A₁ABB₁的點F的位置，并給出證明．

已知函數f(x)=

ax+b

x2+1

圖象在x=1處的切線方程為2y-1=0．
（Ⅰ） 求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）若△ABC的三個頂點（B在A、C之間）在曲線y=f（x）+ln（x-1）（x＞1）上，試探究f(2sin2A+sin2C)與f(2sin2B)的大小關系，并說明理由．

（2013•汕尾二模）已知F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)為平面內的兩個定點，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，記點P的軌跡為曲線Γ．
（Ⅰ）求曲線Γ的方程；
（Ⅱ）判斷原點O關于直線x+y-1=0的對稱點R是否在曲線Γ包圍的范圍內？說明理由．
（注：點在曲線Γ包圍的范圍內是指點在曲線Γ上或點在曲線Γ包圍的封閉圖形的內部）
（Ⅲ）設點O為坐標原點，點A，B，C是曲線Γ上的不同三點，且

OA

+

OB

+

OC

=

0

．試探究：直線AB與OC的斜率之積是否為定值？證明你的結論．