Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分別在線段B₁C₁和AC上，B₁E=3EC₁，AC=BC=CC₁=4
（1）求證：BC⊥AC₁；
（2）試探究滿足EF∥平面A₁ABB₁的點F的位置，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理和性質定理即可證明；
（2）證法一：利用線面平行的判定定理即可證明；證法二：利用面面平行的判定定理．

解答：證明：（1）∵AA₁⊥平面ABC，∴AA₁⊥BC，
又∵AC⊥BC，AA₁∩AC=A，
∴BC⊥平面AA₁C₁C，
∴BC⊥AC₁．
（2）解法一：當AF=3FC時，EF∥平面AA₁B₁B．
證明如下：在平A₁B₁C₁內過E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，連接AG．
∵B₁E=3EC₁，∴

EG

A1C1

=

B1E

B1C1

=

3

4

，
又AF∥A₁C₁且

AF

AC

=

AF

A1C1

=

3

4

，
∴AF∥EG且AF=EG，
∴四邊形AFEG為平行四邊形，∴EF∥GA，
又∵EF?面AA₁B₁B，AG?平面AA₁B₁B，
∴EF∥平面AA₁B₁B．
解法二：當AF=3FC時，FE∥平面A₁ABB₁．
證明：在平面ABC內過E作EG∥BB₁交BC于G，連接FG．
∵EG∥BB₁，EG?A₁ABB₁，BB₁?平面A₁ABB₁，
∴EG∥平面A₁ABB₁．
∵B₁E=3EC₁，∴BG=3GC．
∴FG∥AB，
又AB?平面A₁ABB₁，FG?平面A₁ABB₁．
∴FG∥平面A₁ABB₁．
又EG∩FG=F，
∴平面EFG∥平面A₁ABB₁．
∴EF∥平面A₁ABB₁．

點評：熟練掌握線面、面面平行和垂直的判定定理和性質定理是解題的關鍵．