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已知函數y=x+

a

x

（x＞0）有如下性質：如果常數a＞0，那么該函數在（0，

a

]上是減函數，在[

a

，+∞）上是增函數．
（1）如果函數y=x+

b2

x

（x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數y=x²+

c

x2

（x＞0，常數c＞0）在定義域內的單調性，并用定義證明（若有多個單調區間，請選擇一個證明）；
（3）對函數y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（x＞0，常數a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數的特例．研究推廣后的函數的單調性（只須寫出結論，不必證明），并求函數F（x）=(x2+

1

x

)2+(

1

x2

+x)2在區間[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結論）．

請你寫出一個你最喜歡的函數，對于你給定的定義域，它滿足-f（-x）=f（x）且f（x+t）＞f（x）（t＞0）．你給出的函數是．

探究函數f（x）=2x+

8

x

-3，x∈（0，+∞）上的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	14	7	5.34	5.11	5.01	5	5.01	5.04	5.08	5.67	7	8.6	12.14	…

（1）觀察表中y值隨x值變化趨勢特點，請你直接寫出函數f（x）=2x+

8

x

-3，x∈（0，+∞）的單調區間，并指出當x取何值時函數的最小值為多少；
（2）用單調性定義證明函數f（x）=2x+

8

x

-3在（0，2）上的單調性．

已知函數f(x)=

ax-1

ax+1

（a＞0且a≠1），設函數g(x)=f(x-

1

2

)+1．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）求g（x）+g（1-x）及g( 0 )+g( 

1

4

 )+g( 

1

2

 )+g( 

3

4

 )+g( 1 )的值；
（3）是否存在正整數a，使不等式

a •g(n)

g(1-n)

＞n2對一切n∈N^*都成立，若存在，求出正整數a的最小值；不存在，說明理由；
（4）結合本題加以推廣：設F（x）是R上的奇函數，請你寫出一個函數G（x）的解析式；并根據第（2）小題的結論，猜測函數G（x）滿足的一般性結論．