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過橢圓左焦點的焦點弦為AB.則.過右焦點的弦, [典型例題] 例1. 已知橢圓 及直線 . (1)當 為何值時.直線與橢圓有公共點? (2)若直線被橢圓截得的弦長為 .求直線的方程. 分析:直線與橢圓有公共點.等價于它們的方程組成的方程組有解. 因此.只須考慮方程組消元后所得的一元二次方程的根的判別式. 已知弦長.由弦長公式就可求出 . 解:(1)把直線方程 代入橢圓方程 得 .即 . . 解得 . (2)設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為 . . 由(1)得. . 根據弦長公式得 . 解得 . 因此.所求直線的方程為 . 說明:處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題.采用的方法與處理直線和圓的有所區別. 這里解決直線與橢圓的交點問題.一般考慮判別式 ,解決弦長問題.一般應用弦長公式. 用弦長公式.若能合理運用韋達定理.可大大簡化運算過程. 例2. 直線 與雙曲線 相交于 . 兩點. 當 為何值時.以 為直徑的圓經過坐標原點. 解:由方程組: 得 因為直線與雙曲線交于 . 兩點 ∴ 解得 . 設 . .則: . . 而以 為直徑的圓過原點.則 . ∴ . . 于是 . 即 . 解得 滿足條件. 故當 時.以 為直徑的圓過原點. 例3. 斜率為1的直線經過拋物線 的焦點.與拋物線相交于兩點 . .求線段 的長. 解:由拋物線的標準方程可知.焦點 .準線方程 . 由題設.直線 的方程為: . 代入拋物線方程 .整理得: . 解法一:解上述方程得: . 分別代入直線方程得: 即 坐標分別為 . . 解法二:設 . .則: =8 解法三:設 . B(x2.y2). 由拋物線定義可知. 等于點 到準線 的距離 . 即 同理 點撥:(1)解法一利用傳統的基本方法求出 兩點坐標.再利用兩點間距離公式求出 的長.解法二沒有利用直線求出 坐標.而是利用韋達定理找到 與 的關系.利用直線截二次曲線的弦長公式 求得.這是典型的設而不求思想方法比解法一先進.解法三充分利用拋物線的定義.把過焦點的這一特殊的弦分成兩個半徑的和.轉化為準線的距離.這是思維質的飛躍. (2)拋物線 上一點 到焦點 的距離 這就是拋物線的焦半徑公式.焦點弦長 例4. 若直線 與拋物線 交于A.B兩點.且AB中點的橫坐標為2.求此直線方程. 分析:由直線與拋物線相交利用韋達定理列出k的方程求解. 另由于已知與直線斜率及弦中點坐標有關.故也可利用“作差法 求k. 解法一:設 . .則由: 可得: ∵直線與拋物線相交. 且 .則 ∵AB中點橫坐標為: 解得: 或 故所求直線方程為: 解法二:設 . .則有 兩式作差解: . 即 故 或 則所求直線方程為: 例5. (1)設拋物線 被直線 截得的弦長為 .求k值. 中的弦為底邊.以x軸上的點P為頂點作三角形.當三角形的面積為9時.求P點坐標. 分析:(1)題可利用弦長公式求k.(2)題可利用面積求高.再用點到直線距離求P點坐標. 解:(1)由 得: 設直線與拋物線交于 與 兩點. 則有: .即 (2) .底邊長為 . ∴三角形高 ∵點P在x軸上.∴設P點坐標是 則點P到直線 的距離就等于h.即 或 . 即所求P點坐標是. [模擬試題] 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

已知傾斜角α≠0的直線l過橢圓(a>b>0)的右焦點交橢圓于A.B兩點,P為直線上任意一點,則∠APB為  (     )

                A.鈍角                         B.直角                       C.銳角                           D.都有可能

 

 

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已知傾斜角α≠0的直線l過橢圓(a>b>0)的右焦點交橢圓于A.B兩

點,P為直線上任意一點,則∠APB為  (     )

A.鈍角     B.直角         C.銳角         D.都有可能

 

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如圖橢圓 (a>b>0)的上頂點為A,左頂點為B, F為右焦點, 過F作平行與AB的直線交橢圓于C、D兩點. 作平行四邊形OCED, E恰在橢圓上.

(1)求橢圓的離心率;

    (2)若平行四邊形OCED的面積為, 求橢圓方程.

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(08年寶山區模擬理 ) (18分)已知橢圓C:(a>b>0)的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為。

(1)求橢圓的方程;

(2)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.

(3)如圖,過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件。

 

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已知橢圓(a>b>0)拋物線,從每條曲線上取兩個點,將其坐標記錄于下表中:

4

1

2

4

2

(1)求的標準方程;(2)四邊形ABCD的頂點在橢圓上,且對角線AC、BD過原點O,若,

(i) 求的最值.

(ii) 求四邊形ABCD的面積;

 

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同步練習冊答案
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